Bdtyk

Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

Касательный вектор к кривой |

• Пусть функция f:U(x0)⊂R→R{displaystyle fcolon U(x_{0})subset mathbb {R} to mathbb {R} } определена в некоторой окрестности точки x0∈R{displaystyle x_{0}in mathbb {R} } и дифференцируема в ней: f∈D(x0){displaystyle fin {mathcal {D}}(x_{0})}.

Касательным вектором к графику функции f{displaystyle f} в точке x0{displaystyle x_{0}} называется вектор с компонентами

• 
  e→=11+f′(x0)2⋅e→x+f′(x0)1+f′(x0)2⋅e→y{displaystyle {vec {e}}={frac {1}{sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}cdot {vec {e}}_{x}+{frac {f'(x_{0})}{sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}cdot {vec {e}}_{y}}.



• Если функция f{displaystyle f} имеет в точке x0{displaystyle x_{0}} бесконечную производную f′(x0)=±∞,{displaystyle f'(x_{0})=pm infty ,} то касательный вектор
  

  
  e→=e→y{displaystyle {vec {e}}={vec {e}}_{y}}.

  
  

Общее определение |

Касательным вектором к гладкому многообразию M{displaystyle M} в точке p∈M{displaystyle pin M} называется оператор X{displaystyle X}, сопоставляющий каждой гладкой функции f:M→R{displaystyle fcolon Mto mathbb {R} } число Xf{displaystyle Xf} и обладающий следующими свойствами:

• аддитивность: X(f+h)=Xf+Xh,{displaystyle X(f+h)=Xf+Xh,}
  


• 
  правило Лейбница: X(fh)=(Xf)⋅h(p)+f(p)⋅(Xh).{displaystyle X(fh)=(Xf)cdot h(p)+f(p)cdot (Xh).}
  

Множество всех таких операторов в точке p{displaystyle p} имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

(X+Y)f=Xf+Yf;{displaystyle (X+Y)f=Xf+Yf;}

(k⋅X)f=k⋅(Xf), ∀k∈R{displaystyle (kcdot X)f=kcdot (Xf), forall kin mathbb {R} }.

Совокупность всех касательных векторов в точке p{displaystyle p} образует векторное пространство, которое называется касательным пространством
в точке p{displaystyle p}.
Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.

Касательный вектор как класс эквивалентности путей |

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rⁿ.
Пусть в Rⁿ задан гладкий путь f:[0,1]→Rn{displaystyle mathbf {f} colon [0,1]rightarrow mathbb {R} ^{n}}:

f(t)=f1(t)e1+f2(t)e2+⋯+fn(t)en{displaystyle mathbf {f} (t)=f_{1}(t)mathbf {e} _{1}+f_{2}(t)mathbf {e} _{2}+dots +f_{n}(t)mathbf {e} _{n}}.

Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь l(t){displaystyle mathbf {l} (t)}, который его касается в момент времени t₀:

l(t)=f(t0)+(t−t0)(∂f1∂x1(t0)e1+∂f2∂x2(t0)e2+⋯+∂fn∂xn(t0)en){displaystyle mathbf {l} (t)=mathbf {f} (t_{0})+(t-t_{0})left({partial f_{1} over partial x_{1}}(t_{0})mathbf {e} _{1}+{partial f_{2} over partial x_{2}}(t_{0})mathbf {e} _{2}+dots +{partial f_{n} over partial x_{n}}(t_{0})mathbf {e} _{n}right)}.

Касание двух путей f1(t){displaystyle mathbf {f} _{1}(t)} и f2(t){displaystyle mathbf {f} _{2}(t)} означает, что f1(t)−f2(t)=o(t−t0){displaystyle mathbf {f} _{1}(t)-mathbf {f} _{2}(t)=o(t-t_{0})}; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности.
Kасательный вектор в точке x₀ можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x₀ в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.

Касательный вектор к подмногообразию |

Касательный вектор в точке p{displaystyle p} гладкого подмногообразия M{displaystyle M} евклидова пространства — вектор скорости в точке p{displaystyle p} некоторой кривой в M{displaystyle M}.

Иначе говоря, касательный вектор в точке p{displaystyle p} подмногообразия, локально заданного параметрически

r:Rm→Rn{displaystyle rcolon mathbb {R} ^{m}to mathbb {R} ^{n}} с p=r(0) {displaystyle p=r(0) },

есть произвольная линейная комбинация частных производных ∂r∂xi(0){displaystyle {frac {partial r}{partial x_{i}}}(0)}.

Замечания |

• Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости C1{displaystyle C^{1}}.


• Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в R2n{displaystyle mathbb {R} ^{2n}}. Поэтому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения.

Литература |

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.


• Зорич В. А. Математический анализ, Т. 1,2. — М.: Наука, 1981.


• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.