Bdtyk

Производная — фундаментальное математическое понятие, используемое в различных вариациях (обобщениях) во многих разделах математики. Это базовая конструкция дифференциального исчисления, допускающая много вариантов обобщений, применяемых в математическом анализе, дифференциальной топологии и геометрии, алгебре.

Общее между различными вариациями и обобщениями заключается в том, что производная отображения характеризует степень изменения образа отображения при (бесконечно) малом изменении аргумента. В зависимости от рассматриваемых математических структур конкретизируется содержание данного понятия.

Только для случая топологических линейных пространств известно около 20 обобщений понятия производной.^[1]

Производная функции одной переменной |

Базовое определение |

Производная функции f:R→R{displaystyle f:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} } в точке x0{displaystyle x_{0}} определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

f′(x0)=limΔx→0ΔfΔx{displaystyle f'(x_{0})=lim _{Delta xrightarrow 0}{frac {Delta f}{Delta x}}}, где Δx=x−x0, Δf=f(x)−f(x0){displaystyle Delta x=x-x_{0}, Delta f=f(x)-f(x_{0})}.

Графически это тангенс угла наклона касательной в точке x0{displaystyle x_{0}} к кривой, изображающей функцию f(x){displaystyle f(x)}.

При достаточно малых изменениях dx{displaystyle dx} аргумента выполнено равенство df=f′(x0)dx{displaystyle df=f'(x_{0})dx}. В общем случае именно такая форма определения принимается за основу для обобщения понятия производной.

Односторонние производные |

Определяются также односторонние производные, где вместо соответствующего предела используется односторонний (левосторонний и правосторонний) предел. Правосторо́нняя произво́дная или произво́дная спра́ва обозначается символами f+(x0), f+′(x0), D+f(x0){displaystyle f^{+}(x_{0}), f'_{+}(x_{0}), mathrm {D} ^{+}!f(x_{0})}. Левосторо́нняя произво́дная или произво́дная сле́ва обозначается символами f−(x0), f−′(x0), D−f(x0){displaystyle f^{-}(x_{0}), f'_{-}(x_{0}), mathrm {D} ^{-}!f(x_{0})}. Обычная производная существует тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние производные (их величина и равна производной).

Производные высших порядков |

Поскольку производная функции одной переменной также является некоторой функцией одной переменной, то можно рассматривать производную производной — вторую производную и вообще производную любого порядка n{displaystyle n} (некоторое натуральное число).

Производные функций нескольких переменных |

Частные производные |

В случае функций нескольких переменных: f:Rn→R{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}rightarrow mathbb {R} }, в первую очередь, определяются так называемые частные производные — производные по одной из переменных при условии фиксированных значений остальных переменных:

∂f(x)∂xi=limxi→x0if(x01,...,xi,...,x0n)−f(x01,...,x0i,...,x0n)xi−x0i{displaystyle {frac {partial f(mathbf {x} )}{partial x^{i}}}=lim _{x^{i}rightarrow x_{0}^{i}}{frac {f(x_{0}^{1},...,x^{i},...,x_{0}^{n})-f(x_{0}^{1},...,x_{0}^{i},...,x_{0}^{n})}{x^{i}-x_{0}^{i}}}}

Градиент |

Собственно производной (учитывающей изменения вектора переменных в целом, то есть всех переменных) в случае функций нескольких переменных является так называемый градиент функции — вектор, компонентами которого являются частные производные:

f′(x)=gradf(x)=∇f=df(x)dx=(∂f∂x1,∂f∂x2,...,∂f∂xn){displaystyle f'(mathbf {x} )=mathbf {grad} f(mathbf {x} )=nabla f={frac {df(mathbf {x} )}{dmathbf {x} }}=left({frac {partial f}{partial x^{1}}},{frac {partial f}{partial x^{2}}},...,{frac {partial f}{partial x^{n}}}right)}

По аналогии со случаем одной переменной, при малых изменениях dx=(dx1,dx2,...,dxn){displaystyle dmathbf {x} =(dx^{1},dx^{2},...,dx^{n})} вектора переменных x{displaystyle mathbf {x} } выполнено равенство:

df(x)=f′(x0)dx=∑i=1n∂f∂xidxi{displaystyle df(mathbf {x} )=f'(mathbf {x_{0}} )dmathbf {x} =sum _{i=1}^{n}{frac {partial f}{partial x^{i}}}dx^{i}}

Производная по направлению |

В случае функций нескольких переменных можно определить производную по направлению, то есть в предположении, что переменные изменяются в данном направлении. Производная функции f{displaystyle f} по направлению вектора e{displaystyle mathbf {e} } определяется следующим образом:

fe′(x0)=limt→0f(x0+te)−f(x0)t{displaystyle f'_{mathbf {e} }(mathbf {x} _{0})=lim _{trightarrow 0}{frac {f(mathbf {x} _{0}+tmathbf {e} )-f(mathbf {x} _{0})}{t}}}

Если направление e{displaystyle mathbf {e} } совпадает с направлением некоторой координатной оси, то производная по этому направлению фактически является соответствующей частной производной. Можно показать, что производная по направлению равна скалярному произведению вектора градиента на нормированный вектор направления e{displaystyle mathbf {e} } (то есть вектор направления единичной длины, что можно получить из любого вектора направления делением на его длину):

fe′(x0)=(f′(x0),e){displaystyle f'_{mathbf {e} }(mathbf {x} _{0})=(f'(mathbf {x} _{0}),mathbf {e} )}

Производные высших порядков |

По аналогии со случаем функций одной переменной можно рассматривать частные производные произвольного порядка. Причем в данном случае можно использовать как одну и ту же переменную несколько раз, так и одновременно несколько переменных:

∂kf∂x1k1∂x2k2,...,∂xnkn{displaystyle {frac {partial ^{k}f}{partial x_{1}^{k_{1}}partial x_{2}^{k_{2}},...,partial x_{n}^{k_{n}}}}}, где ∑ki=k{displaystyle sum k_{i}=k}

Аналогом второй производной в случае функции нескольких переменных является матрица вторых частных производных — матрица Гессе, которая является производной векторнозначной функции (см. ниже) — градиента скалярной функции. Элементами этой матрицы являются вторые производные ∂2f∂xi∂xj{displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial x^{i}partial x^{j}}}}.

Полная производная |

Во многих случаях возникает необходимость оценить зависимость функции f{displaystyle f} от изменения данной переменной xj{displaystyle x^{j}} в ситуации, когда остальные переменные определенным образом изменяются в зависимости от xj{displaystyle x^{j}}, то есть на значение функции f{displaystyle f} изменение данной переменной сказывается как непосредственно (что выражено частной производной), так и опосредованно через изменение других переменных. Полное влияние выражено в понятии полной производной:

dfdxj=∑i=1n∂f∂xi∂xi∂xj{displaystyle {frac {df}{dx^{j}}}=sum _{i=1}^{n}{frac {partial f}{partial x^{i}}}{frac {partial x^{i}}{partial x^{j}}}}

В общем случае можно рассматривать траекторию изменения независимых переменных в параметрической форме xi(t){displaystyle x^{i}(t)}, где t{displaystyle t} — некоторый параметр (в физике это чаще всего время). Тогда можно рассматривать полную производную по этому параметру:

dfdt=∑i=1n∂f∂xidxidt{displaystyle {frac {df}{dt}}=sum _{i=1}^{n}{frac {partial f}{partial x^{i}}}{frac {dx^{i}}{dt}}}

При этом в параметр t{displaystyle t} может выступать одной из переменных xi{displaystyle x^{i}}.

Производная Лагранжа принимает во внимание изменения вследствие зависимости от времени и движения через пространство по векторному полю.

Набор функций нескольких переменных |

Набор F{displaystyle mathbf {F} } функций fi{displaystyle f_{i}} нескольких переменных можно интерпретировать как векторнозначную функцию: F:Rn→Rm{displaystyle mathbf {F} :mathbb {R} ^{n}rightarrow mathbb {R} ^{m}}. Производная такой функции представляет собой так называемую матрицу Якоби J{displaystyle J}, строки которой — градиенты функций fi{displaystyle f_{i}}, составляющих набор F{displaystyle mathbf {F} }, то есть элемент i{displaystyle i}-ой строки и j{displaystyle j}-го столбца равен частной производной функции fi{displaystyle f_{i}} по переменной xj{displaystyle x^{j}}:

JF=F′(x0)=[∂fi∂xj]{displaystyle J_{F}=mathbf {F} '(mathbf {x} _{0})=left[{frac {partial f_{i}}{partial x^{j}}}right]}

По аналогии со скалярными функциями при малых изменениях вектора аргументов dx{displaystyle dmathbf {x} } справедливо равенство:

dF=F′(x0)dx{displaystyle dmathbf {F} =mathbf {F} '(mathbf {x} _{0})dmathbf {x} }

Частным случаем производной векторнозначной функции является производная от градиента некоторой скалярной функции f{displaystyle f}, так как градиент фактически представляет собой вектор из нескольких функций — частных производных. Эта производная, как отмечалось выше, по сути является второй производной скалярной функции и представляет собой матрицу частных производных второго порядка этой функции — матрица Гессе (Hf{displaystyle H_{f}}) или гессиан (гессианом обычно называют определитель матрицы Гессе).

Производные отображений произвольных линейных пространств |

Предварительное обобщение |

Скалярная функция нескольких переменных рассматривалась выше формально как функция от вектора, компонентами которого являлись независимые переменные. В общем случае следует рассмотреть скалярные (числовые) функции f:X→R{displaystyle f:Xrightarrow R} на произвольных векторных пространствах X{displaystyle X} некоторой размерности. Тогда в каждом фиксированном базисе такое отображение можно рассмотреть как функцию нескольких переменных. Таким образом, все рассмотренные выше понятия можно интерпретировать как координатные определения производных при фиксированном базисе произвольного пространства (наделенного достаточной для этих целей топологической структурой).

Аналогично, значения набора функций также формально рассматривались компоненты некоторого вектора и этот набор функций трактовался (формально) как отображение одного вектора в другой. В общем случае следует рассмотреть отображение F:X→Y{displaystyle F:Xrightarrow Y} между произвольными векторными пространствами X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y} различной размерности и природы (наделенных необходимой топологической структурой). Если зафиксировать базисы в обоих пространствах, то это отображение аналогично рассмотренному выше набору функций нескольких переменных. Таким образом, все соответствующие определения интерпретируются в общем случае как координатное определение производных при фиксированных базисах соответствующих пространств.

Данная интерпретация означает в то же время, что несмотря на то, что координатное представление производных зависит от базиса (меняются при переходе от одного базиса к другому), сами понятия производных от выбора базисов не должны зависеть. Поэтому вообще говоря требуются более общие определения производных напрямую не связанных с выбором базиса и их координатным представлением. Более того, указанные определения обобщаются на случай пространств бесконечной размерности, что используется, например, в функциональном анализе и вариационном исчислении.

Производная Гато |

Достаточно общее понятие производной рассматривается в функциональном анализе, где концепция производной по направлению обобщается на произвольные локально выпуклые топологические векторные пространства. Соответствующая производная называется обычно производной Гато или слабой производной. Определение производной Гато по существу не отличается от производной по направлению для случая функции нескольких переменных:

fe′(x0)=limt→0f(x0+te)−f(x0)t{displaystyle f'_{e}({x}_{0})=lim _{trightarrow 0}{frac {f({x}_{0}+t{e})-f({x}_{0})}{t}}}

Производная Фреше |

В случае банаховых пространств определяется производная Фреше или сильная производная. Производной Фреше отображения F:X→Y{displaystyle F:Xrightarrow Y} называют такой линейный оператор F′{displaystyle F'}, для которого выполнено равенство:

lim||h||X→0||F(x+h)−F(x)−F′(x)h||Y||h||X=0{displaystyle lim _{||h||_{X}rightarrow 0}{frac {||F(x+h)-F(x)-F'(x)h||_{Y}}{||h||_{X}}}=0},

Это означает, что при достаточно малых (по норме пространства X{displaystyle X}) изменениях dx{displaystyle dx} аргумента x{displaystyle x} изменение dF{displaystyle dF} сходится (по норме пространства Y) к F′(x)dx{displaystyle F'(x)dx}, что формально можно записать в виде равенства:

dF(x)=F′(x)dx{displaystyle dF(x)=F'(x)dx}

Если эта производная существует, то она совпадает с производной Гато. Для конечномерных пространств в координатном представлении F′(x){displaystyle F'(x)} является матрицей Якоби, а если Y=R{displaystyle Y=R}, то — градиентом скалярной функции.

Вариационная производная |

В вариационном исчислении, где рассматриваются интегральные функционалы на пространстве функций, в которых введено скалярное произведение (в форме интеграла от пары функций), вводится понятие вариационной производной, называемой также функциональной производной. Вариационная производная функционала F(f){displaystyle F(f)} — это функция (вообще говоря обобщенная функция) δF/δf{displaystyle delta F/delta f}, для которой при малой вариации δf{displaystyle delta f} функции f{displaystyle f} выполнено равенство:

δF=F(f+δf)−F(f)=(δF/δf,δf)=∫δF(f(x))δfδf(x)dx{displaystyle delta F=F(f+delta f)-F(f)=(delta F/delta f,delta f)=int {frac {delta F(f(x))}{delta f}}delta f(x)dx}

Можно показать, что по сути вариационная производная есть производная Фреше.

Производная по мере |

В теории меры производная Радона — Никодима обобщает якобиан, использовавшийся для изменяющихся переменных, на меры. Она выражает одну меру μ{displaystyle mu } в терминах другой меры ν{displaystyle nu } (при некоторых условиях).

Производная также допускает обобщение на пространстве обобщенных функций, используя интегрирование по частям в соответствующем хорошо устроенном подпространстве.

Дифференциальные операторы в конечномерных пространствах |

1. Дивергенция (расходимость) векторнозначных функций (векторных полей) F:X→X{displaystyle F:Xrightarrow X} на конечномерном пространстве X{displaystyle X}, даёт меру того, как силён «источник» или «сток» в этой точке. Она может быть использована для вычисления потока при помощи теоремы о дивергенции. В координатном представлении (в декартовых координатах) дивергенция равна

div⁡F=∑i=1n∂Fxi∂xi{displaystyle operatorname {div} mathbf {F} =sum _{i=1}^{n}{frac {partial F_{x^{i}}}{partial x^{i}}}}

2. Ротор векторных полей в трехмерном пространстве R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} измеряет «вращение» векторного поля в этой точке. В координатном представлении (в декартовых координатах) равен:

3. Лапласиан — это дивергенция (расходимость) градиента скалярной функции (скалярного поля) на конечномерном пространстве. Часто обозначается как Δ{displaystyle Delta } или как ∇2{displaystyle nabla ^{2}}. В координатном представлении (в декартовых координатах) равен:

div⁡grad⁡f=Δf=∇2f=∑i=1n∂2f∂xi2{displaystyle operatorname {div} operatorname {grad} f=Delta f=nabla ^{2}f=sum _{i=1}^{n}{frac {partial ^{2}f}{partial x_{i}^{2}}}}

4. Д’Аламбертиан — определяется аналогично лапласиану, но используя метрику пространства Минковского, вместо метрики евклидова пространства. Рассматривается в физике для четырёхмерного пространства-времени. В координатном представлении (в декартовых координатах) равен:

◻f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2−1c2∂2f∂t2.{displaystyle square f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial z^{2}}}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}f}{partial t^{2}}}.}

Производные в дифференциальной топологии, геометрии и тензорном анализе |

Касательный вектор и касательное отображение |

В дифференциальной топологии, векторное поле может быть определено как дифференцирование на кольце гладких функций на многообразии, а касательный вектор может быть определён как производная в точке. Это позволяет абстрагироваться от записи направленной производной скалярной функции и перейти к общим многообразиям. Для многообразий, которые являются подмножествами Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, этот касательный вектор будет аналогичен направленной производной определённой выше.

Касательное отображение dφ:TM→TN{displaystyle dvarphi colon ,TMto TN}

Касательное отображение (англ. pushforward) является обобщением понятия якобиана.

Пусть φ:M→N{displaystyle varphi colon Mto N} — дифференцируемое отображение гладких многообразий произвольных размерностей. Касательное отображение dφ:TM→TN{displaystyle dvarphi colon ,TMto TN} — это порождённое отображением φ:M→N{displaystyle varphi colon Mto N} отображение между касательными расслоениями этих многообразий. Аргументами касательного отображения dφ{displaystyle dvarphi } являются точка x∈M{displaystyle xin M} и вектор ξ∈TM{displaystyle xi in TM}. Для фиксированной точки x∈M{displaystyle xin M} отображение dφ(x,⋅):TxM→Tφ(x)N{displaystyle dvarphi (x,cdot )colon ,T_{x}Mto T_{varphi (x)}N} является линейным отображением касательного пространства Tx{displaystyle T_{x}} в касательное пространство Tφ(x)N{displaystyle T_{varphi (x)}N}.

Производная Ли |

Производная Ли — это скорость изменения тензорного поля (в частности скалярного или векторного поля) в направлении данного векторного поля. В случае скалярного поля производная Ли совпадает с производной по направлению. Для векторных полей производная Ли равна так называемой скобке Ли. Это пример применения скобки Ли (векторные поля образуют алгебру Ли на группе диффеоморфизмов многообразия). Это производная 0 порядка на алгебре.

Внешняя и внутренняя производная |

На внешней алгебре дифференциальных форм над гладким многообразием, внешняя производная — это уникальное линейное отображение, которое удовлетворяет порядковой версии закона Лейбница и при возведении в квадрат равно нулю. Это производная 1 порядка на внешней алгебре.

Внутренняя производная — это производная «-1» порядка на внешней алгебре форм. Вместе, внешняя производная, производная Ли, и внутренняя производная образуют супералгебру Ли.

Ковариантная производная |

В дифференциальной геометрии (и вытекающем из неё тензорном анализе), с помощью ковариантной производной берутся производные по направлениям векторных полей вдоль кривых или вообще в криволинейной системе координат. Это расширяет производную по направлению скалярных функций до сечений векторных расслоений или главных расслоений. В римановой геометрии существование метрики позволяет сделать канонический выбор свободной от кручения ковариантной производной, известной как связность Леви-Чивиты.

Для скалярных функций f{displaystyle f} ковариантная производная Dvf{displaystyle D_{v}f} совпадает с производной по направлению v{displaystyle v} векторного поля. Однако в общем случае она отличается от неё. Для произвольных векторных полей u{displaystyle u} ковариантную производную формально можно определить исходя из требования линейности по v{displaystyle v}, аддитивности по u{displaystyle u} и стандартного правила Лейбница для произведения скалярного поля f{displaystyle f} на векторное поле u{displaystyle u}. В общем случае тензорных полей требуется выполнение правила Лейбница для их тензорного произведения.

В случае векторного поля ковариантную производную в координатном представлении можно записать как:

Djui=∂jui+Γkjiuk{displaystyle D_{j}u^{i}=partial _{j}u^{i}+Gamma _{kj}^{i}u^{k}},

где ∂jui{displaystyle partial _{j}u^{i}} — обычная частная производная по координате xj{displaystyle x^{j}}, а Γkji{displaystyle Gamma _{kj}^{i}} — символы Кристоффеля.

В случае декартовых координат символы Кристоффеля равны нулю, поэтому ковариантная производная равна обычной производной.

Внешняя ковариантная производная расширяет внешнюю производную на векторно-значимые формы.

Производная в других разделах математики |

Производные в комплексном анализе |

В комплексном анализе (анализе функций комплексных переменных), центральными объектами изучения являются голоморфные функции, которые являются комплекснозначными функциями на плоскости комплексных чисел и удовлетворяющие соответственно расширенному определению дифференцируемости.

Производная Шварца описывает, как комплексная функция аппроксимируется дробно-линейным отображением, аналогично тому, как обычная производная описывает, как функция аппроксимируется линейным отображением.

Производные в алгебре и алгебраической геометрии |

Дифференцирование в общей алгебре — это линейное отображение на кольце или алгебре, которое удовлетворяет закону Лейбница (правилу произведения). Они изучаются в чистой алгебраической постановке в дифференциальной теории Галуа, но также появляются во многих других областях, где они часто употребляются с менее строгими алгебраическими определениями производных.

В алгебраической геометрии кэлеров дифференциал позволяет расширить определение внешней производной на произвольные алгебраические многообразия, вместо просто гладких многообразий.

Другие обобщения |

Вполне можно скомбинировать два или больше различных понятий расширения или абстракции простой производной. Например, в геометрии Финслера изучаются пространства, которые локально выглядят как банаховы пространства. Таким образом можно создать производную с некоторыми особенностями функциональной производной и ковариантной производной.

В области квантовых групп q{displaystyle q}-производная — это q{displaystyle q}-деформация обычной производной функции.

Производные дробного порядка |

Вдобавок к производным n{displaystyle n}-го порядка для любого натурального числа n{displaystyle n}, используя различные методы, возможно ввести производные в дробных степенях, получая при этом так называемые производные дробного порядка. Производные отрицательных порядков будут соответствовать интегрированию, откуда появляется термин дифферинтеграл. Изучение различных возможных определений и записей производных ненатуральных порядков известно под названием дробное исчисление.

Нуждающиеся в определении |

• Производная Дини


• Матричное исчисление


• Производная Пинкерле


• Параметрическая производная


• Полу-дифференцируемость

См. также |

• Производная функции


• Односторонняя производная


• Контингенция и паратингенция


• Теорема Лагерра


• Теорема Шварца о второй производной

Примечания |

Литература |

• Фрёлихер, А., Бухер В. Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы. — М.: Мир, 1970.