Bdtyk

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Конечномерный случай |

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Ортонормированный базис в 3-мерном евклидовом пространстве

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

(ei,ej)=δij {displaystyle (e_{i},e_{j})=delta _{ij} }

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (i≠j{displaystyle ineq j}), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:

 a=a1e1+a2e2+...+anen{displaystyle mathbf {a} =a_{1}mathbf {e_{1}} +a_{2}mathbf {e_{2}} +...+a_{n}mathbf {e_{n}} }

можно найти так:

 ai=(a,ei)(ei,ei){displaystyle a_{i}={frac {(mathbf {a} ,mathbf {e_{i}} )}{(mathbf {e_{i}} ,mathbf {e_{i}} )}}}.

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора a{displaystyle mathbf {a} } квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

(a,a)=∑i(a,ei)2,{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )=sum _{i}(mathbf {a} ,mathbf {e_{i}} )^{2},}

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай |

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов e1,e2,...,en,...{displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n},...} гильбертова пространства X{displaystyle X} такая, что любой элемент x∈X{displaystyle xin X} однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

x=∑n=1∞anen,{displaystyle x=sum _{n=1}^{infty }a_{n}e_{n},}

называемого рядом Фурье элемента x{displaystyle x} по системе {en}{displaystyle {e_{n}}}.

Часто базис {en}{displaystyle {e_{n}}} выбирается так, что |en|=1{displaystyle |e_{n}|=1}, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа an{displaystyle a_{n}}, называются коэффициентами Фурье элемента x{displaystyle x} по ортонормированному базису {en}{displaystyle {e_{n}}}, имеют вид

an=(x,en){displaystyle a_{n}=(x,e_{n})}.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система {en}{displaystyle {e_{n}}} была базисом, является равенство Парсеваля.

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел {an}{displaystyle {a_{n}}} такая, что ∑n=1∞an2<∞{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}^{2}<infty }, то в случае гильбертова пространства
с ортонормированным базисом {en}{displaystyle {e_{n}}} ряд ∑n=1∞anen{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}e_{n}} — сходится по норме к некоторому элементу x∈X{displaystyle xin X}.
Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству l2{displaystyle l_{2}} (теорема Рисса — Фишера).

Примеры |

• Стандартный базис e1=(1,0,…,0)T,e2=(0,1,…,0)T,…en=(0,0,…,1)T{displaystyle e_{1}=(1,0,ldots ,0)^{mathrm {T} },e_{2}=(0,1,ldots ,0)^{mathrm {T} },ldots e_{n}=(0,0,ldots ,1)^{mathrm {T} }} в n-мерном евклидовом пространстве Rⁿ является ортонормированным.

• Множество {fn=12πeinx,n∈Z}{displaystyle {f_{n}={frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{inx},nin mathbb {Z} }} образует ортонормированный базис в L2([−π,π]){displaystyle L^{2}([-pi ,pi ])}.

Литература |

• 
  Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.


• 
  Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

См. также |

• Ортонормированная система


• Ортогонализация


• Процесс Грама ― Шмидта


• Флаг (математика)