Bdtyk

Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.

Определение |

Формально тензорное поле можно определить несколькими способами.

Определение через понятие структуры на многообразии |

Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии, — можно дать следующее определение:

Пусть V=Rn{displaystyle V=mathbb {R} ^{n}}, V∗=Hom(V,R){displaystyle V^{*}=mathrm {Hom} ,(V,;mathbb {R} )} и Vqp=((⊗pV))⊗((⊗qV∗)){displaystyle V_{q}^{p}=(({overset {p}{otimes }}V))otimes (({overset {q}{otimes }}V^{*}))} — пространство тензоров типа (p,q){displaystyle (p,;q)} с естественным тензорным представлением группы GL1(n)=GL(n){displaystyle GL^{1}(n)=GL(n)}, тогда структура типа Vqp{displaystyle V_{q}^{p}} является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой) типа (p,q){displaystyle (p,;q)}.

Определение через понятие тензорного расслоения |

При определении тензорного поля можно отталкиваться от понятия тензорного расслоения.

Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения Tp,q(M){displaystyle T^{p,;q}(M)} на дифференцируемом многообразии M{displaystyle M}, изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений

Tp,q(M)≅⊗pT(M)⊗⊗qT(M)∗.{displaystyle T^{p,;q}(M)cong {overset {p}{otimes }}T(M)otimes {overset {q}{otimes }}T(M)^{*}.}

Нестрогое определение |

Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение, которое каждой точке рассматриваемого многообразия M{displaystyle M} ставит в соответствие тензор постоянной валентности.

Область применения |

Понятие тензорного поля естественным образом возникает в механике и физике сплошных сред при описании анизотропных сред. Понятие тензорного поля находит применение во всех прикладных науках, где такие среды рассматриваются и изучаются. Оно входит в математический аппарат общей и специальной теории относительности.

Расширенное тензорное поле |

Понятие расширенного тензорного поля возникает в результате расширения понятия тензорного поля в изложенном выше смысле.

Нестрогое определение |

Проще всего понимать такое расширение исходя из нестрогого определения, согласно которому тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке x{displaystyle displaystyle x} многообразия M{displaystyle displaystyle M} некоторый тензор фиксированной валентности (p,q){displaystyle displaystyle (p,q)}, отнесенный к этой точке x{displaystyle displaystyle x}. Пусть теперь M~{displaystyle displaystyle {tilde {M}}} — некоторое другое многообразие, являющееся линейным расслоением над M{displaystyle displaystyle M}, и пусть π:M~→M{displaystyle displaystyle pi :{tilde {M}}to M} — каноническая проекция для такого расслоения. Тогда
расширенное тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке y{displaystyle displaystyle y} многообразия M~{displaystyle displaystyle {tilde {M}}} некоторый тензор фиксированной валентности (p,q){displaystyle displaystyle (p,q)} на M~{displaystyle displaystyle {tilde {M}}}, отнесенный к точке x=π(y){displaystyle displaystyle x=pi (y)}.

Литература |

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1965. — Т. 5. — С. 333. — 1060 с.


• Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 664 с.