Bdtyk

Карта поверхности Земли в стереографической проекции

Стереографическая проекция — отображение определённого типа из сферы с одной выколотой точкой на плоскость.

Определение |

Стереографическая проекция

Точка N{displaystyle N} (северный полюс сферы) является точкой на максимальном расстоянии от плоскости Π{displaystyle Pi }.
Через каждую точку x≠N{displaystyle xneq N} сферы проходит единственная прямая D{displaystyle D}, соедининяющая N{displaystyle N} и x{displaystyle x}.
Прямая D{displaystyle D} пересекает плоскость в единственной точке X{displaystyle X}, которая, таким образом, является образом точки x{displaystyle x} при стереографической проекции.
В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой N{displaystyle N} на плоскость Π{displaystyle Pi }.

Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки N{displaystyle N}.
Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом ∞{displaystyle infty }.
Плоскость, дополненная элементом ∞{displaystyle infty }, называется расширенной плоскостью.
Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза x→N{displaystyle xto N} его образ X→∞{displaystyle Xto infty }.

Свойства |

• Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции N{displaystyle N}.

• Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и параллелей на сфере в сопряжённые эллиптический и гиперболический пучки окружностей на плоскости.

• Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм комплексной проективной прямой CP1{displaystyle mathbb {C} mathrm {P} ^{1}} на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем R{displaystyle mathbb {R} }) вещественную плоскость с координатами x,y{displaystyle x,y} как одномерную (над полем C{displaystyle mathbb {C} }) прямую комплексного переменного z=x+iy{displaystyle z=x+iy}.

• Движения сферы стереографической проекции порождают преобразования Мёбиуса на комплексной плоскости, подобно тому как Гномоническая проекция порождает проективные преобразования на плоскости.^[1]
  

Приложения |

В фотографии |

Сферическая панорама в стереографической проекции

Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.

В кристаллографии |

Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.

История |

Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии.

Вариации и обобщения |

Стереографическая проекция приложима к n-сфере Sⁿ в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве E^n + 1. Если Q — точка на Sⁿ и E — гиперплоскость в E^n + 1, то стереографической проекцией точки P ∈ Sⁿ − {Q} является точка P^′ пересечения линии QP¯{displaystyle scriptstyle {overline {QP}}} с E.

Обобщенная стереографическая проекция используется, например, для графического представления 3-сферы и расслоения Хопфа.

См. также |

• Проекция (геометрия)


• Комплексная плоскость


• Сфера Римана


• Преобразование Мёбиуса

Литература |

• Розенфельд Б. А., Сергеева Н. Д. Стереографическая проекция. Серия «Популярные лекции по математике», вып. 53. М.: Наука, 1973.

Примечания |

Ссылки |

	Стереографическая проекция на Викискладе

• Примеры «маленьких планет»