Bdtyk

Расслоение Хопфа графически представлено как обобщенная стереографическая проекция S3{displaystyle S^{3}} на R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}. Рисунок показывает одинаковым цветом точки на S2{displaystyle S^{2}} (справа) и соответствующие им слои-окружности на стереографической проекции S3{displaystyle S^{3}} (слева).

Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

S1↪S3→ pS2{displaystyle S^{1}hookrightarrow S^{3}{xrightarrow { p,}}S^{2}}.

Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы S3{displaystyle S^{3}} как единичной сферы в C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}}, а двумерной сферы S2{displaystyle S^{2}} как комплексной проективной прямой CP1{displaystyle mathbb {C} P^{1}}. Тогда отображение:

p:(z1,z2)↦(z1:z2){displaystyle p:(z_{1},z_{2})mapsto (z_{1}:z_{2})}

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы S1{displaystyle S^{1}}:

θ:(z1,z2)↦(θz1,θz2){displaystyle theta :(z_{1},z_{2})mapsto (theta z_{1},theta z_{2})},

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

S1={θ∣θ∈C,|θ|=1}{displaystyle S^{1}={theta mid theta in mathbb {C} ,,|theta |=1}}.

Обобщения |

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера S2n+1{displaystyle S^{2n+1}} расслаивается со слоем-окружностью над CPn{displaystyle mathbb {C} P^{n}}. Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.

Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

S0↪S1→S1{displaystyle S^{0}hookrightarrow S^{1}rightarrow S^{1}}   (вещественная),

S1↪S3→S2{displaystyle S^{1}hookrightarrow S^{3}rightarrow S^{2}}   (комплексная — собственно расслоение Хопфа),

S3↪S7→S4{displaystyle S^{3}hookrightarrow S^{7}rightarrow S^{4}}   (кватернионная),

S7↪S15→S8{displaystyle S^{7}hookrightarrow S^{15}rightarrow S^{8}}   (октавная).

Такие расслоения сферы Sn{displaystyle S^{n}}, для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях n∈{1,3,7,15}{displaystyle nin {1,3,7,15}}. Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} без делителей нуля может быть определено только при n∈{1,2,4,8}{displaystyle nin {1,2,4,8}}.

См. также |

• 
  Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа


• 
  Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа


• 
  Трехмерная сфера — тотальное пространство расслоения Хопфа


• 
  Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее^[1][2]
  


• Сфера Милнора

Примечания |

Ссылки |

• Видео-демонстрация отображения Хопфа на сайте Dimensions-math, главы 7 и 8


• Пояснения к демонстрации отображения Хопфа на сайте Dimensions-math


• Отображение Хопфа на сайте Mathworld