Bdtyk

Размерность Хаусдорфа или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём.
Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение |

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть Ω{displaystyle Omega } — ограниченное множество в метрическом пространстве X{displaystyle X}.

ε{displaystyle varepsilon }-покрытия |

Пусть ε>0{displaystyle varepsilon >0}. Не более чем счётный набор {ωi}i∈I{displaystyle {omega _{i}}_{iin I}} подмножеств пространства X{displaystyle X} будем называть ε{displaystyle varepsilon }-покрытием множества Ω{displaystyle Omega }, если выполнены следующие два свойства:

• Ω⊂⋃i∈Iωi{displaystyle Omega subset bigcup _{iin I}omega _{i}}


• для любого i∈I{displaystyle iin I}: |ωi|<ε{displaystyle |omega _{i}|<varepsilon } (здесь и далее |ω|{displaystyle |omega |} означает диаметр множества ω{displaystyle omega }).

α{displaystyle alpha }-мера Хаусдорфа |

Пусть α>0{displaystyle alpha >0}. Пусть Θ={ωi}i∈I{displaystyle Theta ={omega _{i}}_{iin I}} — покрытие множества Ω{displaystyle Omega }. Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: Fα(Θ):=∑i∈I|ωi|α{displaystyle F_{alpha }(Theta ):=sum limits _{iin I}|omega _{i}|^{alpha }}.

Обозначим через Mαε(Ω){displaystyle M_{alpha }^{varepsilon }(Omega )} «минимальный размер» ε{displaystyle {varepsilon }}-покрытия множества Ω{displaystyle Omega }: Mαε(Ω):=inf(Fα(Θ)){displaystyle M_{alpha }^{varepsilon }(Omega ):=inf(F_{alpha }(Theta ))}, где инфимум берётся по всем ε{displaystyle varepsilon }-покрытиям множества Ω{displaystyle Omega }.

Очевидно, что функция Mαε(Ω){displaystyle M_{alpha }^{varepsilon }(Omega )} (нестрого) возрастает при уменьшении ε{displaystyle varepsilon }, поскольку при уменьшении ε{displaystyle varepsilon } мы только сжимаем множество возможных ε{displaystyle varepsilon }-покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при ε→0+{displaystyle varepsilon rightarrow 0+}:

Mα(Ω)=limε→0+Mαε(Ω){displaystyle M_{alpha }(Omega )=lim limits _{varepsilon rightarrow 0+}M_{alpha }^{varepsilon }(Omega )}.

Величина Mα(Ω){displaystyle M_{alpha }(Omega )} называется α{displaystyle alpha }-мерой Хаусдорфа множества Ω{displaystyle Omega }.

Свойства α{displaystyle alpha }-меры Хаусдорфа |

• 
  α{displaystyle alpha }-мера Хаусдорфа является борелевской мерой на X{displaystyle X}.


• с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; d{displaystyle d}-мера Хаусдорфа множеств в Rd{displaystyle mathbb {R} ^{d}} совпадает с их d{displaystyle d}-мерным объёмом.


• 
  Mα(Ω){displaystyle M_{alpha }(Omega )} убывает по α{displaystyle alpha }. Более того, для любого множества Ω{displaystyle Omega } существует^[1][2][3] критическое значение α0{displaystyle alpha _{0}}, такое, что:
  
  
  
  • 
    Mα(Ω)=0{displaystyle M_{alpha }(Omega )=0} для всех α>α0{displaystyle alpha >alpha _{0}}
    
  
  
  • 
    Mα(Ω)=+∞{displaystyle M_{alpha }(Omega )=+infty } для всех α<α0{displaystyle alpha <alpha _{0}}
    
  
  
  
  

Значение Mα0(Ω){displaystyle M_{alpha _{0}}(Omega )} может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа |

Размерностью Хаусдорфа dimH⁡Ω{displaystyle dim _{H}Omega } множества Ω{displaystyle Omega } называется число α0{displaystyle alpha _{0}} из предыдущего пункта.

Примеры |

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на n{displaystyle n} частей, подобных исходному множеству с коэффициентами r1,r2,…,rn{displaystyle r_{1},r_{2},dots ,r_{n}}, то его размерность s{displaystyle s} является решением уравнения r1s+r2s+⋯+rns=1{displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+dots +r_{n}^{s}=1}. Например,

• размерность множества Кантора равна ln⁡2/ln⁡3{displaystyle ln 2/ln 3} (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3),


• размерность треугольника Серпинского — ln⁡3/ln⁡2{displaystyle ln 3/ln 2} (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2),


• размерность кривой дракона — 2{displaystyle 2} (разбивается на 2 части, коэффициент подобия 1/2{displaystyle {sqrt {1/2}}}).

Свойства |

• Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.


• Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей.
  
  • В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.
  
  


• Для произвольных метрических пространств X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y} выполняется соотношение
  

  dimH⁡(X×Y)≥dimH⁡(X)+dimH⁡(Y).{displaystyle dim _{H}(Xtimes Y)geq dim _{H}(X)+dim _{H}(Y).}

  
  
  • Для некоторых пар X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y} неравенство строгое, более того такую пару можно выбрать из компактных подмножеств вещественной прямой.^[4]
    
  
  

См. также |

• Фрактал


• Размерность Минковского

Примечания |

Литература |

• Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7.