Bdtyk

Напряжения в области контакта при одновременном нагружении нормальной и касательной силой. Напряжения определены методом фотоупругости

Механика контактного взаимодействия занимается расчётом упругих, вязкоупругих и пластичных тел при статическом или динамическом контакте. Механика контактного взаимодействия является основополагающей инженерной дисциплиной, обязательной при проектировании надёжного и энергосберегающего оборудования.
Она будет полезна при решении многих контактных задач, например, колесо-рельс, при расчёте муфт, тормозов, шин, подшипников скольжения и качения, двигателей внутреннего сгорания, шарниров, уплотнений; при штамповке, металлообработке, ультразвуковой сварке, электрических контактах и др. Она охватывает широкий спектр задач, начиная от расчётов прочности элементов сопряжения трибосистемы с учётом смазывающей среды и строения материала, до применения в микро- и наносистемах.

История |

Классическая механика контактных взаимодействий связана, прежде всего, с именем Генриха Герца. В 1882 году Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривлёнными поверхностями. Этот классический результат и сегодня лежит в основе механики контактного взаимодействия.
Лишь столетие спустя Джонсон, Кендал и Робертс нашли аналогичное решение для адгезионного контакта (JKR — теория).

Дальнейший прогресс механики контактного взаимодействия в середине 20-го столетия связан с именами Боудена и Тейбора. Они первые указали на важность учёта шероховатости поверхности контактируемых тел. Шероховатость приводит к тому, что действительная площадь контакта между трущимися телами намного меньше кажущейся площади контакта. Эти представления существенно изменили направление многих трибологических исследований. Работы Боудена и Тейбора вызвали появление ряда теорий механики контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.

Пионерскими работами в этой области являются работы Архарда (1957), который пришёл к заключению, что при контакте упругих шероховатых поверхностей площадь контакта примерно пропорциональна нормальной силе. Дальнейший важный вклад в теорию контакта шероховатых поверхностей внесли Гринвуд и Виллиамсон (1966) и Перссон (2002). Главным результатом этих работ является доказательство того, что действительная площадь контакта шероховатых поверхностей в грубом приближении пропорциональна нормальной силе, в то время как характеристики отдельного микроконтакта (давление, размер микроконтакта) слабо зависят от нагрузки.

Классические задачи механики контактного взаимодействия |

Контакт между шаром и упругим полупространством |

Контакт между шаром и упругим полупространством

Твёрдый шар радиуса R{displaystyle R} вдавливается в упругое полупространство на глубину d{displaystyle d} (глубина проникновения), образуя область контакта радиуса a=Rd{displaystyle a={sqrt {Rd}}}.

Необходимая для этого сила равна

F=43E∗R1/2d3/2{displaystyle F={frac {4}{3}}E^{*}R^{1/2}d^{3/2}},

причём

1E∗=1−ν12E1+1−ν22E2{displaystyle {frac {1}{E^{*}}}={frac {1-nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{frac {1-nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}.

E1{displaystyle E_{1}} и E2{displaystyle E_{2}} здесь модули упругости, а ν1{displaystyle nu _{1}} и ν2{displaystyle nu _{2}} — коэффициенты Пуассона обоих тел.

Контакт между двумя шарами

При контакте двух шаров с радиусами R1{displaystyle R_{1}} и R2{displaystyle R_{2}} эти уравнения справедливы соответственно для радиуса R{displaystyle R}

1R=1R1+1R2{displaystyle {frac {1}{R}}={frac {1}{R_{1}}}+{frac {1}{R_{2}}}}

Распределение давления в площади контакта рассчитывается как

p=p0(1−r2a2)1/2{displaystyle p=p_{0}left(1-{frac {r^{2}}{a^{2}}}right)^{1/2}}

с

p0=2πE∗(dR)1/2{displaystyle p_{0}={frac {2}{pi }}E^{*}left({frac {d}{R}}right)^{1/2}}.

Максимальное касательное напряжение достигается под поверхностью, для ν=0,33{displaystyle nu =0,33} при z≈0,49a{displaystyle zapprox 0,49a} .

Контакт между двумя скрещивающимися цилиндрами с одинаковыми радиусами R{displaystyle R} |

Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами

Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами эквивалентен контакту между шаром радиусом R{displaystyle R} и плоскостью (см.выше).

Контакт между твёрдым цилиндрическим индентором и упругим полупространством |

Контакт между твердым цилиндрическим индентором и упругим полупространством

Если твёрдый цилиндр радиусом a вдавливается в упругое полупространство, тo давление распределяется следующим образом

p=p0(1−r2a2)−1/2{displaystyle p=p_{0}left(1-{frac {r^{2}}{a^{2}}}right)^{-1/2}},

причём

p0=1πE∗da{displaystyle p_{0}={frac {1}{pi }}E^{*}{frac {d}{a}}}.

Связь между глубиной проникновения и нормальной силой определяется

F=2aE∗d{displaystyle F=2aE^{*}d{frac {}{}}}.

Контакт между твёрдым коническим индентором и упругим полупространством |

Контакт между конусом и упругим полупространством

При индентировании упругого полупространства твёрдым конусообразным индентером глубина проникновения и радиус контакта связаны следующим соотношением:

d=π2atan⁡θ{displaystyle d={frac {pi }{2}}atan theta }.

θ{displaystyle theta } есть угол между горизонталью и боковой плоскостью конуса. Распределение давления определяется формулой

p(r)=−Edπa(1−ν2)ln(ar−(ar)2−1){displaystyle p(r)=-{frac {Ed}{pi aleft(1-nu ^{2}right)}}lnleft({frac {a}{r}}-{sqrt {left({frac {a}{r}}right)^{2}-1}}right)} .

Напряжение в вершине конуса (в центре области контакта) изменяется по логарифмическому закону. Суммарная сила рассчитывается как

FN=2πEd2tan⁡θ{displaystyle F_{N}={frac {2}{pi }}E{frac {d^{2}}{tan theta }}}.

Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями |

Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями

В случае контакта между двумя упругими цилиндрами с параллельными осями сила прямо пропорциональна глубине проникновения:

F=π4E∗Ld{displaystyle F={frac {pi }{4}}E^{*}Ld}.

Радиус кривизны в этом соотношении вообще не присутствует. Полуширина контакта определяется следующим отношением

a=Rd{displaystyle a={sqrt {Rd}}} ,

с

1R=1R1+1R2{displaystyle {frac {1}{R}}={frac {1}{R_{1}}}+{frac {1}{R_{2}}}},

как и в случае контакта между двумя шарами. Максимальное давление равно

p0=(E∗FπLR)1/2{displaystyle p_{0}=left({frac {E^{*}F}{pi LR}}right)^{1/2}}.

Контакт между шероховатыми поверхностями |

Когда два тела с шероховатыми поверхностями взаимодействуют друг с другом, реальная площадь контакта A{displaystyle A} намного меньше, чем видимая площадь A0{displaystyle A_{0}}. При контакте между плоскостью со случайно распределённой шероховатостью и упругим полупространством реальная площадь контакта пропорциональна нормальной силе F{displaystyle F} и определяется следующим уравнением:

A=κE∗h′F{displaystyle A={frac {kappa }{E^{*}h'}}F}

При этом h′{displaystyle h'} — среднеквадратичное значение неровности плоскости и κ≈2{displaystyle kappa approx 2}. Среднее давление в реальной площади контакта

σ=FA≈12E∗h′{displaystyle sigma ={frac {F}{A}}approx {frac {1}{2}}E^{*}h'}

рассчитывается в хорошем приближении как половина модуля упругости E∗{displaystyle E^{*}}, умноженная на среднеквадратичное значение неровности профиля поверхности h′{displaystyle h'}. Если это давление больше твёрдости σ0{displaystyle sigma _{0}} материала и, таким образом

Ψ=E∗h′σ0>2{displaystyle Psi ={frac {E^{*}h'}{sigma _{0}}}>2},

то микронеровности находятся полностью в пластичном состоянии.
Для Ψ<23{displaystyle Psi <{frac {2}{3}}} поверхность при контакте деформируется только упруго.
Величина Ψ{displaystyle Psi } была введена Гринвудом и Виллиамсоном и носит название индекса пластичности. Факт деформирования тела, упругого или пластического, не зависит от приложенной нормальной силы.

Адгезивный контакт |

Феномен адгезии проще всего наблюдать в контакте твердого тела с очень мягким упругим телом, например, с желе. При прикосновении тел в результате действия сил Ван дер Ваальса возникает адгезионная шейка.  Для того чтобы тела опять разорвать, необходимо приложить некоторую минимальную силу, именуемую силой адгезии. Аналогичные явления имеют место в контакте двух твердых тел, разделенных очень мягким слоем, как например, в стикере или в пластыре. Адгезия может как представлять технологический интерес, например, в клеевом соединении, так и являться мешающим фактором, например, препятствующим быстрому открытию эластомерных клапанов.

Сила адгезии между параболическим твердым телом и упругим полупростанством впервые была найдена в 1971 г. Джонсоном, Кендаллом и Робертсом^[1]. Она равна

FA=(3/2)πγR{displaystyle F_{A}=(3/2)pi gamma R},

где γ{displaystyle gamma } есть энергия отрыва на единицу площади, а R{displaystyle R} радиус кривизны тела.

Сила адгезии плоского цилиндрического штампа радуса a{displaystyle a} была найдена также в 1971 году Кендаллом^[2]. Она равна

FA=8πa3E∗γ{displaystyle F_{A}={sqrt {8pi a^{3}E^{*}gamma }}},

Более сложные формы начинают отрываться "с краев" формы, после чего фронт отрыва растпростаняется к центру до достижения некоторого критического состояния^[3]. Процесс отрыва адгезивного контакта можно наблюдать в исследовании^[4].

Метод редукции размерности |

Замещение трехмерного профиля одномерным

Многие задачи механики контактного взаимодействия могут быть легко решены методом редукции размерности. В этом методе исходная трехмерная система замещается на одномерное упругое или вязкоупругое основание (рисунок). Если параметры основания и форма тела выбраны на основе простых правил метода редукции, то макроскопические свойства контакта совпадают точно со свойствами оригинала.^[5][6][7]

Энергия при упругом контакте |

К. Л. Джонсон, К. Кендал и А. Д. Робертс (JKR — по первым буквам фамилий) взяли эту теорию за основу при вычислении теоретического сдвига или глубины вдавливания при наличии адгезии в их значимой статье «Поверхностная энергия и контакт упругих твёрдых частиц», изданной в 1971 в трудах Королевского Общества. Теория Герца вытекает из их формулировки, при условии, если адгезия материалов равна нулю.

Подобно этой теории, но на основе других предположений, в 1975 Б. В. Дерягин, В. М. Мюллер и Ю. П. Топоров разработали другую теорию, которая среди исследователей известна как теория DMT, и из которой также вытекает формулировка Герца при условии нулевой адгезии.

Теория DMT в дальнейшем была несколько раз пересмотрена прежде, чем
она была принята как ещё одна теория контактного взаимодействия в дополнение к теории JKR.

Обе теории, как DMT так и JKR, являются основой механики контактного взаимодействия, на которых базируются все модели контактного перехода, и которые используются в расчётах наносдвигов и электронной микроскопии. Так исследования Герца в дни его работы лектором, которые он сам с его трезвой самооценкой считал тривиальными, ещё до его великих трудов по электромагнетизму, попали в век нанотехнологий.

Литература |

• K. L. Johnson: Contact mechanics. Cambridge University Press, 6. Nachdruck der 1. Auflage, 2001.


• Popov, Valentin L.: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation, Springer-Verlag, 2009, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9.


• Popov, Valentin L.: Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications, Springer-Verlag, 2010, 362 p., ISBN 978-3-642-10802-0.


• В. Л. Попов: Механика контактного взаимодействия и физика трения, М: Физматлит, 2012, 348 c, ISBN 978-5-9221-1443-1.


• I. N. Sneddon: The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile. Int. J. Eng. Sci., 1965, v. 3, pp. 47—57.


• S. Hyun, M. O. Robbins: Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths. Trobology International, 2007, v.40, pp. 1413—1422.


• V.L. Popov: Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales. Friction, 2013, v.1, N. 1, pp. 41—62.

Ссылки |