Bdtyk

Функция (синяя) и её производная (красная). Глобальный максимум функции обозначен символом 🞯, её глобальный минимум — ☐, локальный максимум — ◇, локальный минимум — +, нуль производной без экстремума — ╳. Видно, что остальные нули производной соответствуют точкам экстремума функции.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология и т.д.^[1]

Определения |

Пусть дана функция f:M⊂R→R,{displaystyle f:Msubset mathbb {R} to mathbb {R} ,} и x0∈M0{displaystyle x_{0}in M^{0}} — внутренняя точка области определения f.{displaystyle f.} Тогда

• 
  x0{displaystyle x_{0}} называется точкой локального максимума функции f,{displaystyle f,} если существует проколотая окрестность U˙(x0){displaystyle {dot {U}}(x_{0})} такая, что
  

  ∀x∈U˙(x0)f(x)⩽f(x0);{displaystyle forall xin {dot {U}}(x_{0})quad f(x)leqslant f(x_{0});}

  
  


• 
  x0{displaystyle x_{0}} называется точкой локального минимума функции f,{displaystyle f,} если существует проколотая окрестность U˙(x0){displaystyle {dot {U}}(x_{0})} такая, что
  

  ∀x∈U˙(x0)f(x)⩾f(x0).{displaystyle forall xin {dot {U}}(x_{0})quad f(x)geqslant f(x_{0}).}

  
  

• 
  x0{displaystyle x_{0}} называется точкой глобального (абсолютного) максимума, если
  

  ∀x∈Mf(x)⩽f(x0);{displaystyle forall xin Mquad f(x)leqslant f(x_{0});}

  
  


• 
  x0{displaystyle x_{0}} называется точкой глобального (абсолютного) минимума, если
  

  ∀x∈Mf(x)⩾f(x0).{displaystyle forall xin Mquad f(x)geqslant f(x_{0}).}

  
  

Если неравенства выше строгие, то x0{displaystyle x_{0}} называется точкой строгого локального или глобального максимума или минимума соответственно.

Значение функции f(x0){displaystyle f(x_{0})} называют соответственно (строгим) локальным или глобальным максимумом или минимумом. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание |

Функция f,{displaystyle f,} определённая на множестве M,{displaystyle M,} может не иметь на нём ни одного локального или глобального экстремума. Например, f(x)=x,x∈(−1,1).{displaystyle f(x)=x,;xin (-1,1).}

Необходимые условия существования локальных экстремумов |

• Из леммы Ферма вытекает следующее^[2]:

Пусть точка x0{displaystyle x_{0}} является точкой экстремума функции f{displaystyle f}, определенной в некоторой окрестности точки x0{displaystyle x_{0}}.

Тогда либо производная f′(x0){displaystyle f'(x_{0})} не существует, либо f′(x0)=0{displaystyle f'(x_{0})=0}.

Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, точкой перегиба, как точка (0,0) у функции f(x)=x3{displaystyle f(x)=x^{3}}.

Достаточные условия существования локальных экстремумов |

• Пусть функция f∈C(x0){displaystyle fin C(x_{0})} непрерывна в x0∈M0,{displaystyle x_{0}in M^{0},} и существуют конечные или бесконечные односторонние производные f+′(x0),f−′(x0){displaystyle f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})}. Тогда при условии

f+′(x0)<0,f−′(x0)>0{displaystyle f'_{+}(x_{0})<0,;f'_{-}(x_{0})>0}

x0{displaystyle x_{0}} является точкой строгого локального максимума. А если

f+′(x0)>0,f−′(x0)<0,{displaystyle f'_{+}(x_{0})>0,;f'_{-}(x_{0})<0,}

то x0{displaystyle x_{0}} является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x0{displaystyle x_{0}}.

• Пусть функция f{displaystyle f} непрерывна и дважды дифференцируема в точке x0{displaystyle x_{0}}. Тогда при условии

f′(x0)=0{displaystyle f'(x_{0})=0} и f″(x0)<0{displaystyle f''(x_{0})<0}

x0{displaystyle x_{0}} является точкой локального максимума. А если

f′(x0)=0{displaystyle f'(x_{0})=0} и f″(x0)>0{displaystyle f''(x_{0})>0}

то x0{displaystyle x_{0}} является точкой локального минимума.

• Пусть функция f{displaystyle f} дифференцируема n{displaystyle n} раз в точке x0{displaystyle x_{0}} и f′(x0)=f″(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0{displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=dots =f^{(n-1)}(x_{0})=0}, а f(n)(x0)≠0{displaystyle f^{(n)}(x_{0})neq 0}.

Если n{displaystyle n} чётно и f(n)(x0)<0{displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0}, то x0{displaystyle x_{0}} — точка локального максимума.
Если n{displaystyle n} чётно и f(n)(x0)>0{displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0}, то x0{displaystyle x_{0}} — точка локального минимума.
Если n{displaystyle n} нечётно, то экстремума нет.

См. также |

• Критическая точка (математика)


• Методы оптимизации


• Условный экстремум

Примечания |

Литература |

• Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 150 с.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.