Bdtyk

Отображение с тремя неподвижными точками

Неподвижная точка в математике — точка, которую заданное отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения f(x)=x{displaystyle f(x)=x}.

К примеру, отображение f(x)=x2−3x+3{displaystyle f(x)=x^{2}-3x+3} имеет неподвижные точки x=1{displaystyle x=1} и x=3{displaystyle x=3}, поскольку f(1)=1{displaystyle f(1)=1} и f(3)=3{displaystyle f(3)=3}.

Неподвижные точки есть не у всякого отображения — скажем, отображение f(x)=x+1{displaystyle f(x)=x+1} вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.

Точки, возвращающиеся в себя после определённого числа итераций, то есть, решения уравнения

f(f(…f(x)…))=x{displaystyle f(f(dots f(x)dots ))=x},

называются периодическими (в частности, неподвижные точки — это периодические точки периода 1).

Притягивающие неподвижные точки |

Шаги метода простой итерации x_n+1 = cos x_n с начальным значением x₁ = -1

Неподвижная точка x=f(x) отображения f — притягивающая, если итерации любой начальной точки y, достаточно близкой к x, будут стремиться к x:

f(f(…f(y)…⏟ntimes))→x,n→∞{displaystyle f(f(underbrace {dots f(y)dots } _{n,{text{times}}}))rightarrow x,quad nrightarrow infty }.

(При этом, обычно, требуют, чтобы итерации y не покидали некоторой большей окрестности точки x — то есть, чтобы точка x была асимптотически устойчива.)

В частности, достаточным условием, чтобы точка была притягивающей, является условие на производную: |f′(x)|<1{displaystyle |f'(x)|<1}.

Метод Ньютона |

Одним из применений идеи притягивающей неподвижной точки является метод Ньютона: искомое решение оказывается притягивающей неподвижной точкой построенного отображения, и потому может быть найдено как предел (очень быстро сходящейся) последовательности итераций.

Наиболее известное применение этого метода нахождение квадратного корня из числа a>0 как последовательности итераций отображения

f(x)=x+ax2{displaystyle f(x)={cfrac {x+{frac {a}{x}}}{2}}}.

См. также |

Литература |

• 
  Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. — Гл. 2, п. 4.


• 
  Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975. — Гл. 5.


• Agarwal R. P., Meehan M., O'Regan D. Fixed Point Theory and Applications. - Cambridge University Press, 2001. - ISBN 0-521-80250-4.


• 
  Borisovich Yu. G., Gel'man B. D., Myshkis A. D., Obukhovskii V. V. Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. - Vol. 24, Issue 6, pp 719-791.


• Fitzpatrick P. M., Petryshyn W. V. Fixed point theorems for multivalued noncompact acyclic mappings // Pacific Journal of Mathematics, 54:2, 1974.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.