Bdtyk

Разложение числа 42 на простые множители: 42=2×3×7{displaystyle 42=2times 3times 7}

Просто́е число́ (др.-греч. πρώτος ἀριθμός) — натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя^[1]. Другими словами, число x{displaystyle x} является простым, если оно больше 1{displaystyle 1} и при этом делится без остатка только на 1{displaystyle 1} и на x{displaystyle x}. К примеру, 5{displaystyle 5} — простое число, а 6{displaystyle 6} является составным числом, так как, помимо 1{displaystyle 1} и 6{displaystyle 6}, также делится на 2{displaystyle 2} и на 3{displaystyle 3}.

Основная теорема арифметики устанавливает основную роль простых чисел в теории чисел: любое целое число, большее 1{displaystyle 1}, либо является простым, либо может быть выражено как произведение простых чисел, причём это выражение единственно с точностью до порядка сомножителей. Именно чтобы обеспечить единственность в этой теореме, единица не считается простым числом (иначе можно включать произвольно много единиц в любое разложение^[2], например, 3=1⋅3=1⋅1⋅3{displaystyle 3=1cdot 3=1cdot 1cdot 3} и т. д.).

Натуральные числа, которые больше единицы и не являются простыми, называются составными. Таким образом, все натуральные числа разбиваются на три класса: единицу (имеющую один натуральный делитель), простые числа (имеющие два натуральных делителя) и составные числа (имеющие больше двух натуральных делителей)^[1]. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.

Последовательность простых чисел начинается так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199…^[3]

Свойство числа быть простым называется простотой. Простой, но медленный метод проверки простоты заданного числа n известен как перебор делителей; более эффективные алгоритмы описаны ниже.

Многие проблемы, касающиеся простых чисел, остаются открытыми, см. ниже.

Простые числа используются в нескольких подпрограммах в области информационных технологий, таких как криптосистема с открытым ключом, которая использует такие свойства, как сложность разложения чисел на простые множители^[4].

Существуют обобщения понятия простого числа на элементы произвольных колец и других алгебраических структур, см. ниже.

История |

Неизвестно когда было определено понятие простого числа, однако первые свидетельства понимания таких чисел относятся к верхнему палеолиту, что подтверждается костью Ишанго.^[5]

В сохранившихся записях древних египтян есть намеки на то, что у них были некоторые сведения о простых числах: например, Папирус Райнда относящийся ко 2-му тысячелетию до н. э. содержит в себе таблицу, выражающую дроби вида 2/n через сумму двух, трех или четырёх дробей с числителями равными единице и различными знаменателями. Разложения дробей, знаменатели которых имеют общий делитель, похожи, что свидетельствует о том, что египтяне по крайней мере знали разницу между простым числом и составным.^[6]

Фрагмент ''Начал'' Евклида обнаруженный в Оксиринхе

Однако самые ранние сохранившиеся записи о явном изучении простых чисел исходят от древних греков. Начала Евклида (около 300 г. до н. э.) содержат важные теоремы о простых числах, включая бесконечность простых чисел, Лемму Евклида и основную теорему арифметики.^[7] В древней Греции также было придумано решето Эратосфена, простой алгоритм нахождения всех простых чисел от 1 до n.

Ферма, Пьер

После греков мало что произошло в изучении простых чисел до XVII века.^[8] В 1640 году Пьер де Ферма сформулировал (без доказательства) малую теорему Ферма (позже доказанную Лейбницем и Эйлером) и теорему о сумме двух квадратов. Ферма также высказал предположение, что все числа вида 22n{displaystyle 2^{2^{n}}}+ 1 — простые (они были названы числами Ферма) и доказал это до n = 4 (или 216{displaystyle 2^{16}}+ 1). Однако Эйлер показал, что уже следующее число Ферма при n = 5 (или 232{displaystyle 2^{32}} + 1) является составным (делится на число 641). На сегодняшний день нет других известных чисел Ферма, являющихся простыми. В то же время французский монах Марен Мерсенн обратил внимание на простые числа вида 2^p — 1, где p — простое (не все числа такого вида являются простыми).^[9] Их назвали простыми числами Мерсенна в его честь.

Работа Эйлера в теории чисел включала в себя множество сведений о простых числах. Он показал что бесконечный ряд 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + … является расходящимся. Также в 1747 году он показал, что чётные совершенные числа — это целые числа вида 2p−1(2p−1){displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}, где второй множитель является простым Мерсенна. В переписке Эйлера с Христианом Гольдбахом, последний сформулировал знаменитую гипотезу Гольдбаха, о представлении любого чётного числа, начиная с 4, в виде суммы простых, которая до сих пор не доказана.^[10]

С начала 19 века внимание многих математиков обратилось к изучению асимптотического распределения простых чисел.^[10]Лежандр и Гаусс, независимо друг от друга высказали предположение, что плотность простых чисел в среднем близка к величине, обратно пропорциональной натуральному логарифму.^[11]

Долгое время считалось, что простые числа имеют чрезвычайно ограниченное применение за пределами чистой математики. Это изменилось в 1970-х годах, когда были изобретены концепции криптографии с открытым ключом, в которых простые числа составляли основу первых алгоритмов, таких как алгоритм шифрования RSA .^[12]

Разложение натуральных чисел в произведение простых |

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. На предполагаемой большой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA и некоторые другие. Факторизация с полиномиальной сложностью теоретически возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора.^[13]

Основная теорема арифметики |

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей.^[14] Таким образом, простые числа являются элементарными «строительными блоками» натуральных чисел. Например:

23244{displaystyle 23244}	=2⋅2⋅3⋅13⋅149{displaystyle =2cdot 2cdot 3cdot 13cdot 149}
	=22⋅3⋅13⋅149{displaystyle =2^{2}cdot 3cdot 13cdot 149}. (22{displaystyle 2^{2}} обозначает квадратную или вторую степень 2{displaystyle 2}.)

Как было показано в этом примере, один и тот же простой делитель может появляться несколько раз. Разложение:

n = p₁ · p₂ · ... · p_t

числа n на (конечное число) простых множителей p₁, p₂, … ,p_t называется разложением на простые множители числа n. Основная теорема арифметики может быть перефразирована, чтобы сказать, что любое разложение на простые числа будет тождественным, за исключением порядка делителей. Таким образом, на практике для большинства чисел есть много простых алгоритмов разложения на множители, все они должны дать тот же результат.^[13]

Если p — простое число и p делит произведение ab целых чисел, то p делит a или p делит b. Это предложение известно как Лемма Евклида.^[15] Она используется в некоторых доказательствах уникальности разложения на множители.

Простота единицы |

Большинство древних греков даже не считали 1{displaystyle 1} числом, поэтому они не могли считать его простым.^[16] К Средним векам и эпохе Возрождения многие математики включали 1{displaystyle 1} в качестве первого простого числа.^[17] В середине XVIII века Христиан Гольдбах внес в список 1{displaystyle 1} в качестве первого простого числа в своей знаменитой переписке с Леонардом Эйлером; однако сам Эйлер не считал 1{displaystyle 1} простым числом.^[18] В XIX веке многие математики по-прежнему считали число 1{displaystyle 1} простым числом. Например, список простых цифр Деррика Нормана Лемера до 10,006,721{displaystyle 10,006,721} числа, переизданный 1956 году, начинался с 1{displaystyle 1} в качестве первого простого числа. Говорят, что Анри Лебег является последним математиком, который назвал 1{displaystyle 1} простым.^[19] К началу XX века математики стали приходить к консенсусу о том, что 1{displaystyle 1} не является простым числом, а скорее формирует свою специальную категорию — «единицу».^[17]

Большая часть математической работы по-прежнему будет верной при назывании 1{displaystyle 1} простым числом, но основная теорема Евклида об арифметике (упомянутая выше) не будет выполняться, как указано. Например, число 15{displaystyle 15} может быть разложено как 3 · 5 и 1 · 3 · 5. Если бы 1{displaystyle 1} являлась простым числом, эти два варианта считались бы разными факторизациями 15{displaystyle 15}, следовательно утверждение этой теоремы пришлось бы изменить.^[17] Точно так же решето Эратосфена работало бы неправильно, если бы 1{displaystyle 1} считалась простым: модифицированная версия решета, которая предполагает, что 1{displaystyle 1} является простым числом, исключает все множители кратные 1{displaystyle 1} (то есть все остальные числа) и дает на выходе только одно число — 1{displaystyle 1}. Кроме того, простые числа имеют несколько свойств, которых нет у числа 1{displaystyle 1}, таких как отношение числа к его соответствующему значению функции тождества Эйлера или суммы функции делителей.^[2]

Алгоритмы поиска и распознавания простых чисел |

Эратосфен Киренский

Простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения дают решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина.^[20]

Однако, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии.^[21] В 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный тест Агравала — Каяла — Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность, что затрудняет его практическое применение.^[22]

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты (см. ниже).

Тест простоты |

Тестом простоты (или проверкой простоты) называется алгоритм, который, приняв на входе число, позволяет либо не подтвердить предположение о составности числа, либо точно утверждать его простоту. Во втором случае он называется истинным тестом простоты. Задача теста простоты относится к классу сложности P, то есть время работы алгоритмов её решения зависит от размера входных данных полиномиально, что было доказано в 2002 году.^[23]

Существующие алгоритмы проверки числа на простоту могут быть разделены на две категории: истинные тесты простоты и вероятностные тесты простоты. Результатом вычислений истинных тестов всегда является факт простоты, либо составности числа. Вероятностный тест показывает является ли число простым с некоторой вероятностью. Числа, удовлетворяющие вероятностному тесту простоты, но являющиеся составными, называются псевдопростыми.^[24] Одним из примеров таких чисел являются числа Кармайкла.^[25]

Одним из примеров истинных тестов простоты является тест Люка-Лемера для чисел Мерсенна. Очевидный недостаток этого теста заключается в его применимости только к ряду чисел определённого вида. Среди других примеров можно привести основанные на малой теореме Ферма^[26]

• 
  Тест Пепина для чисел Ферма
  


• 
  Теорема Прота для чисел Прота
  


• 
  Тест Агравала — Каяла — Саксены, первый универсальный, полиномиальный, детерминированный и безусловный тест простоты.


• Тест Люка — Лемера — Ризеля

А также:

• метод перебора делителей


• Теорема Вильсона


• Критерий Поклингтона


• Тест Миллера


• 
  Тест Адлемана — Померанса — Румели, усовершенствованный^[27] Коэном и Ленстрой
  


• 
  Тест простоты с использованием эллиптических кривых.

К вероятностным тестам простоты относят:

• Тест Ферма


• Тест Миллера — Рабина


• Тест Соловея — Штрассена


• Тест Бейли — Померанца — Селфриджа — Уогстаффа

Большие простые числа |

Уже в течение многих столетий поиск «больших» простых чисел вызывает интерес математиков. В последние десятилетия эти исследования приобрели прикладное значение из-за применения таких чисел в ряде алгоритмов шифрования, таких как RSA^[12].

Наиболее эффективный метод получения больших простых чисел относится к семнадцатому столетию, когда Марен Мерсенн предположил, что числа вида 2n+1{displaystyle 2^{n}+1} простые (при n ≤ 257) только для n равных 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127 и 257.^[11] Проверка верности предположения была намного выше возможностей того времени. Только в XX веке было обнаружено, что гипотеза была ложной и, вероятно, сделана «слепо», поскольку Мерсенн не учел три случая (для n = 61, 89 и 107) и не заметил, что числа, соответствующие n = 67 и n = 257 были составными.^[11]

Простое число M ₁₂₇ (39-значное число) было показано Эдуардом Люка в 1876 году и оставалось самым большим известным простым числом до 1951 года, когда были найдены 2148+117{displaystyle {frac {2^{148}+1}{17}}} (44 цифры) и, немного позднее, 180∗(2127−1)2+1{displaystyle 180*(2^{127}-1)^{2}+1} (из 79 цифр) — последнее простое число, которое было найдено с помощью электронного калькулятора. С тех пор все последующие большие простые числа были обнаружены с помощью компьютера: с 1952 года (когда SWAC показал, что M ₅₂₁ является простым), по 1996 год они были найдены суперкомпьютером, и все были простыми Мерсенна (найденные с использованием теста Люка-Лемера, специфического алгоритма для таких чисел), за исключением числа 391581∗2216193−1{displaystyle 391581*2^{216193}-1}, которое было рекордом между 1989 и 1992 годами.^[28]

Алгоритмы получения простых чисел |

Некоторые задачи математики с использованием факторизации требуют ряд очень больших простых чисел, выбранных случайным образом. Алгоритм их получения, основанный на постулате Бертрана (Для любого натурального n ≥ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.):^[29]

Время решения задачи этим алгоритмом не определено, но есть большая вероятность, что оно всегда является полиномиальным, пока имеется достаточно простых чисел, и они распределены более-менее равномерно. Для простых случайных чисел эти условия выполняются.^[22]

Наиболее эффективным средством построения простых чисел является несколько модифицированная малая теорема Ферма.^[27]

Пусть N, S — нечётные натуральные числа, N-1 = S*R, причем для каждого простого делителя q числа S существует целое число a{displaystyle a} такое, что

aN−1=1(modN){displaystyle a^{N-1}=1{pmod {N}}}, gcd(aN−1q−1,n)=1{displaystyle gcd(a^{{frac {N-1}{q}}-1},n)=1}

Тогда каждый простой делитель p числа N удовлетворяет сравнению

p=1(mod2S){displaystyle p=1{pmod {2S}}}

Следствие. Если выполнены условия теоремы Ферма и R⩽4S+2{displaystyle Rleqslant 4S+2}, то N — простое число.^[27]

Покажем теперь, как с помощью последнего утверждения, имея большое простое число S{displaystyle S}, можно построить существенно большее простое число N{displaystyle N}. Выберем для этого случайным образом чётное число R{displaystyle R} на промежутке R⩽4S+2{displaystyle Rleqslant 4S+2} и положим N=SR+1{displaystyle N=SR+1}. Затем проверим число N{displaystyle N} на отсутствие малых простых делителей, разделив его на малые простые числа; испытаем N{displaystyle N} некоторое количество раз с помощью алгоритма Рабина. Если при этом выяснится, что N{displaystyle N} — составное число, следует выбрать новое значение R{displaystyle R} и опять повторить вычисления. Так следует делать до тех пор, пока не будет найдено число N, выдержавшее испытания алгоритмом Рабина достаточно много раз. В этом случае появляется надежда на то, что N{displaystyle N} — простое число, и следует попытаться доказать простоту с помощью тестов простоты.^[27]

Бесконечность множества простых чисел |

Простых чисел бесконечно много. Это утверждение упоминается как теорема Евклида в честь древнегреческого математика Евклида, поскольку первое известное доказательство этого утверждения приписывается ему. Известно ещё много доказательств бесконечности простых чисел, в том числе аналитическое доказательство Эйлера, доказательство Гольдбаха на основе чисел Ферма,^[30] доказательство Фурстенберга с использованием общей топологии и элегантное доказательство Куммера.

Наибольшее известное простое |

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа^[31]. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число 2³¹ − 1 = 2 147 483 647.

Наибольшим известным простым числом по состоянию на январь 2019 года является число Мерсенна M_82 589 933 = 2^82 589 933 − 1. Оно содержит 24 862 048 десятичных цифр; в книге с записью этого числа было бы около девяти тысяч страниц. Его нашли 7 декабря 2018 года в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS. Предыдущее самое большое известное простое число, открытое в декабре 2017 года, было на 1 612 623 знаков меньше^[32].

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила^[33] денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США^[34]. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.

Простые числа специального вида |

Существует ряд чисел, простота которых может быть установлена эффективно с использованием специализированных алгоритмов.

• 
  Числа Мерсенна — числа вида Mn=2n−1{displaystyle M_{n}=2^{n}-1}, где n — натуральное число^[35]. При этом число Мерсенна может быть простым, только если n — простое число. Как уже было отмечено выше, эффективным тестом простоты является тест Люка — Лемера^[36].


• 
  Числа Ферма — числа вида Fn=22n+1{displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}, где n — неотрицательное целое число^[37]. Эффективным тестом простоты является тест Пепина. По состоянию на февраль 2015 года известно только 5 простых чисел Ферма (для n = 0, 1, 2, 3, 4), двадцать восемь следующих чисел Ферма (до F32{displaystyle F_{32}} включительно) оказались составными^[38], однако не доказано, что других простых чисел Ферма нет^[39].


• 
  Числа Вудала — числа вида Wn=n⋅2n−1{displaystyle W_{n}=ncdot 2^{n}-1}^[40]. Эффективным тестом простоты является тест Люка — Лемера — Ризеля^[41].


• 
  Числа Каллена — числа вида Cn=n⋅2n+1{displaystyle C_{n}=ncdot 2^{n}+1}^[42][43].


• 
  Числа Прота — числа вида P=k⋅2n+1{displaystyle P=kcdot 2^{n}+1}, причём k нечётно и 2n>k{displaystyle 2^{n}>k}^[44]. Эффективным тестом простоты для чисел Прота является тест Бриллхарта — Лемера — Селфриджа (англ. Brillhart–Lehmer–Selfridge test)^[45]. Числа Каллена и числа Ферма являются частным случаем чисел Прота (соответственно при k = n и при k = 1, n=2m{displaystyle n=2^{m}})^[46].


• 
  Числа Миллса — числа вида Pn=[A3n],{displaystyle P_{n}=[A^{3^{n}}],} где A{displaystyle A} — константа Миллса.^[47]
  

Для поиска простых чисел обозначенных типов в настоящее время используются проекты распределённых вычислений GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen or Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Некоторые свойства |

• Если p — простое, и p делит ab, то p делит a или b. Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно как лемма Евклида^[7]. Оно используется в доказательстве основной теоремы арифметики.


• 
  Кольцо вычетов Zn{displaystyle mathbb {Z} _{n}} является полем тогда и только тогда, когда n{displaystyle n} — простое^[48].


• 
  Характеристика каждого поля — это ноль или простое число^[48].


• Если p{displaystyle p} — простое, а a{displaystyle a} — натуральное, то ap−a{displaystyle a^{p}-a} делится на p{displaystyle p} (малая теорема Ферма)^[49].


• Если G{displaystyle G} — конечная группа, порядок которой |G|{displaystyle |G|} делится на p{displaystyle p}, то G{displaystyle G} содержит элемент порядка p{displaystyle p} (теорема Коши)^[50].


• Если G{displaystyle G} — конечная группа, и pn{displaystyle p^{n}} — максимальная степень p{displaystyle p}, которая делит |G|{displaystyle |G|}, то G{displaystyle G} имеет подгруппу порядка pn{displaystyle p^{n}}, называемую силовской подгруппой, более того, количество силовских подгрупп равно pk+1{displaystyle pk+1} для некоторого целого k{displaystyle k} (теоремы Силова)^[51].


• Натуральное p>1{displaystyle p>1} является простым тогда и только тогда, когда (p−1)!+1{displaystyle (p-1)!+1} делится на p{displaystyle p} (теорема Вильсона)^[52].


• Если n>1{displaystyle n>1} — натуральное, то существует простое p{displaystyle p}, такое, что n<p<2n{displaystyle n<p<2n} (постулат Бертрана)^[53].


• 
  Ряд чисел, обратных к простым, расходится^[10]. Более того, при x→∞{displaystyle xto infty }
  

  ∑p<x1p ∼ ln⁡ln⁡x.{displaystyle sum _{p<x}{frac {1}{p}} sim ln ln x.}

  
  


• Любая арифметическая прогрессия вида a,a+q,a+2q,a+3q,...{displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,...}, где a,q>1{displaystyle a,q>1} — целые взаимно простые числа, содержит бесконечно много простых чисел (теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии)^[54].


• Всякое простое число, большее 3, представимо в виде 6k+1{displaystyle 6k+1} или 6k−1{displaystyle 6k-1}, где k{displaystyle k} — некоторое натуральное число. Отсюда, если разность между несколькими последовательными простыми числами (при k>1) одинакова, то она обязательно кратна 6 — например: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.


• Если p>3{displaystyle p>3} — простое, то p2−1{displaystyle p^{2}-1} кратно 24 (справедливо также для всех нечётных чисел, не делящихся на 3)^[55].


• 
  Теорема Грина-Тао. Существуют сколь угодно длинные конечные арифметические прогрессии, состоящие из простых чисел^[56].


• Никакое простое число не может иметь вид nk−1{displaystyle n^{k}-1}, где n>2, k>1. Иначе говоря, число, следующее за простым, не может быть квадратом или более высокой степенью с основанием, бо́льшим 2. Из этого следует также, что если простое число имеет вид 2k−1{displaystyle 2^{k}-1}, то k — простое (см. числа Мерсенна)^[35].


• Никакое простое число не может иметь вид n2k+1+1{displaystyle n^{2k+1}+1}, где n>1, k>0. Иначе говоря, число, предшествующее простому, не может быть кубом или более высокой нечётной степенью с основанием, бо́льшим 1^[57].


• Каждое простое число (кроме чисел вида 8n-1) можно представить в виде суммы трех квадратов^[58].

Применения |

Простые числа являются фундаментальными компонентами во многих областях математики.

Арифметические функции |

В арифметические функции, а именно функции, определённые на множестве натуральных чисел и принимающих значения во множестве комплексных чисел, играют решающую роль в теории чисел. В частности, среди них наиболее важными являются мультипликативные функции или функции f{displaystyle f}, в которых для каждой паре (a,b){displaystyle (a,b)} взаимно простых чисел ставится в соответствие^[59]

f(ab)=f(a)f(b){displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}

Примерами мультипликативных функций являются функция Эйлера ϕ{displaystyle phi }, которая ставит в соответствие числу n{displaystyle n} количество натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с ним и функция делителя, которая число n связывает с числом его делителей.^[60] Значение этих функций от степени простого числа:

• 
  Функция ϕ{displaystyle phi } Эйлера:

ϕ(pm)=pm−pm−1{displaystyle phi (p^{m})=p^{m}-p^{m-1}}

• 
  Функция делителя:

σ(pm)=m+1{displaystyle sigma (p^{m})=m+1}

Арифметические функции можно легко вычислить, зная значение, которое они принимают для степеней простых чисел.^[59] На самом деле из разложения натурального числа n на множители

n=p1q1⋅...⋅paqa{displaystyle n=p_{1}^{q_{1}}cdot ...cdot p_{a}^{q_{a}}}

мы имеем, что

f(n)=f(p1q1)⋅...⋅f(paqa){displaystyle f(n)=f(p_{1}^{q_{1}})cdot ...cdot f(p_{a}^{q_{a}})}

и следовательно, возвращаясь к задаче вычисления f(n){displaystyle f(n)} получается что вычислить f{displaystyle f} от каждой степени простого делителя, обычно проще, чем вычислить f{displaystyle f} по общей формуле.^[61]

Например, чтобы узнать значение функции Эйлера ϕ{displaystyle phi } от n = 450 = 2 × 3 ² × 5 ², достаточно вычислить

ϕ(450)=ϕ(2)⋅ϕ(32)⋅ϕ(52)=(2−1)⋅(9−3)⋅(25−5)=120{displaystyle phi (450)=phi (2)cdot phi (3^{2})cdot phi (5^{2})=(2-1)cdot (9-3)cdot (25-5)=120}

Модульная арифметика |

В модульной арифметике простые числа играют очень важную роль: кольцо вычетов Z/nZ{displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} } является полем тогда и только тогда, когда n является простым.^[48] Также существование первообразного корня кольца Z/nZ{displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} } привязано к простым числам: оно существует, только если n — простое число, 1, 2, 4 или число в форме pn∘2pn{displaystyle p^{n}circ 2p^{n}}, где p нечётно.

Одной из важнейших теорем модульной арифметики является малая теорема Ферма.^[52] Эта теорема утверждает, что для любого простого числа р и любого натурального числа a имеем:

ap≡a(modp){displaystyle a^{p}equiv a{pmod {p}}}

или для любого простого р и любого натурального а не делящегося на р, справедливо:

ap−1≡1(modp){displaystyle a^{p-1}equiv 1{pmod {p}}}

Это свойство можно использовать для проверки того, что число не является простым. На самом деле, если n таково, что:

an≢a(modn){displaystyle a^{n}not equiv a{pmod {n}}}

для некоторого натурального а, то n не может быть простым.^[52] Однако это свойство не может быть использовано для проверки числа на простоту: есть некоторые числа, называемые числами Кармайкла (наименьшее — 561) для которых это будет не верно. Числом Кармайкла называется составное число, которое является псевдопростым числом по каждому основанию b, взаимно простому с n. В 1994 году Уильям Роберт Альфорд, Эндрю Гранвиль и Карл Померанс показали, что таких чисел бесконечно много.^[62]

Теория групп |

Простые числа также играют основополагающую роль в алгебре. В теории групп, группа, в которой каждый элемент является степенью простого числа р называется р-группой.^[63] P-группа является конечной, тогда и только тогда, когда порядок (число его элементов) является степенью р. Примером бесконечной р-группы является p-группой Прюфера.^[64] Известно, что p-группы имеют нетривиальный центр и, следовательно, не могут быть простыми (кроме группы с p элементами); если группа конечна, более того, все нормальные подгруппы пересекают центр нетривиальным образом.

Примером таких групп является циклическая группа умножения по модулю простого числа.^[65]

Все группы порядка p являются циклическими и поэтому абелевыми; также каждая группа порядка p ²абелева. Кроме того, любая конечная абелева группа изоморфна прямому произведению конечного числа циклических р-групп.

В теореме Коши утверждается, что Если порядок конечной группы G делится на простое число p, то G содержит элементы порядка p. Эта теорема обобщается теоремами Силова.^[50]

Теория колец и теория поля |

Простым числом Эйзенштейна называется целое число Эйзенштейна

z=a+bω{displaystyle z=a+bomega } (ω=e2πi/3){displaystyle (omega =e^{2pi i/3})},

являющееся неприводимым (эквивалентно, простым) элементом Z[ω] в смысле теории колец. Делителями простых чисел Эйзенштейна являются только обратимые элементы (±1, ±ω, ±ω²), a + bω и их произведения.^[66]

Умножение на обратимый элемент и сопряжение любого простого числа Эйзенштейна также является простым числом Эйзенштейна.

Целое число Эйзенштейна z = a + bω является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих взаимоисключающих условий:

1. 
   z является произведением обратимого элемента на натуральное простое вида 3n − 1,


2. |z|² = a² − ab + b² является натуральным простым (сравнимым с 0 или 1 по модулю 3).

Отсюда следует, что абсолютное значение квадрата любого целого числа Эйзенштейна является либо простым числом, либо квадратом простого числа.^[66]

Криптосистема с открытым ключом |

Некоторые алгоритмы криптографии с открытым ключом, такие как RSA и обмен ключами Диффи-Хеллмана, основаны на больших простых числах (обычно 1024—2048 бит). RSA полагается на предположение, что намного проще (то есть более эффективно) выполнять умножение двух (больших) чисел x и y, чем вычислять взаимно простые x и y, если известно только их произведение x⋅y{displaystyle xcdot y} . Обмен ключами Диффи-Хеллмана основан на том, что существуют эффективные алгоритмы возведения в степень по модулю, а обратная операция — дискретного логарифмирования считается сложной.^[67][68]

RSA |

Трудность факторизации больших чисел привела к разработке первого эффективного метода криптографии с открытым ключом — RSA.^[69] В этой криптографической системе, человек, который должен получить зашифрованное сообщение, генерирует ключ: выбираются два различных случайных простых числа p{displaystyle p} и q{displaystyle q} заданного размера (обычно используются, 1024- или 2048-битные числа). Далее вычисляется их произведение n=p∗q{displaystyle n=p*q}, называемое модулем. Вычисляется значение функции Эйлера от числа n{displaystyle n}: ϕ(n)=(p−1)(q−1){displaystyle phi (n)=(p-1)(q-1)}. Выбирается целое число e{displaystyle e} (1<e<ϕ(n){displaystyle 1<e<phi (n)}), взаимно простое со значением функции ϕ(n){displaystyle phi (n)}. Обычно в качестве e{displaystyle e} берут небольшие простые числа (например, простые числа Ферма). Число e{displaystyle e} называется открытой экспонентой (англ. public exponent). Вычисляется число d{displaystyle d}, называемое секретной экспонентой, мультипликативно обратное к числу e по модулю ϕ(n){displaystyle phi (n)}. Пара {e,n}{displaystyle {e,n}} публикуется в качестве открытого ключа RSA (англ. RSA public key). Пара {d,n}{displaystyle {d,n}} играет роль закрытого ключа RSA (англ. RSA private key) и держится в секрете.^[12]

Теоретически можно получить закрытый ключ из общедоступной информации: в настоящее время для этого требуется факторизация числа n{displaystyle n}, что делает передачу защищенного сообщения безопасной, если простые числа удовлетворяют определённым условиям и являются «достаточно большими». Пока не известно, существуют ли эффективные методы для расшифровки сообщения, не связанные с прямой атакой на факторизацию n{displaystyle n}, но было показано, что плохой выбор открытого ключа может сделать систему более уязвимой для таких атак.^[70]

В 1991 году RSA Security опубликовала список полупростых чисел, предлагая денежные призы за разложение некоторых из них на множители, с целью подтверждения безопасности метода и поощрения исследования в этой области: инициатива называлась Challenge RSA Factoring.^[71] На протяжении многих лет некоторые из этих чисел были разложены, а для других проблема факторизации все ещё остается открытой; однако конкурс был завершен в 2007 году.^[71]

Формулы для нахождения простых чисел |

В разное время предпринимались попытки указать выражение, значениями которого при разных значениях входящих в него переменных были бы простые числа^[54].
Л. Эйлер указал многочлен n2−n+41,{displaystyle textstyle n^{2}-n+41,} принимающий простые значения при n = 0, 1, 2, …, 40. Однако при n = 41 значение многочлена является составным числом. Можно доказать, что не существует многочлена от одной переменной n, который принимает простые значения при всех целых n^[54].
П. Ферма предположил, что все числа вида 2^2k + 1 простые; однако Эйлер опроверг эту гипотезу, доказав, что число 2²⁵ + 1 = 4 294 967 297 — составное^[54].

Тем не менее, существуют многочлены, множество положительных значений которых при неотрицательных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Одним из примеров является многочлен

(k+2){1−[wz+h+j−q]2−[(gk+2g+k+1)(h+j)+h−z]2−[2n+p+q+z−e]2−[16(k+1)3(k+2)(n+1)2+1−f2]2−[e3(e+2)(a+1)2+1−o2]2−[(a2−1)y2+1−x2]2−[16r2y4(a2−1)+1−u2]2−[((a+u2(u2−a))2−1)(n+4dy)2+1−(x+cu)2]2−[n+l+v−y]2−[(a2−1)l2+1−m2]2−[ai+k+1−l−i]2−[p+l(a−n−1)+b(2an+2a−n2−2n−2)−m]2−[q+y(a−p−1)+s(2ap+2a−p2−2p−2)−x]2−[z+pl(a−p)+t(2ap−p2−1)−pm]2}{displaystyle {begin{aligned}{bigl (}k+2{bigr )}{bigl {}1&-{bigl [}wz+h+j-q{bigr ]}^{2}-{bigl [}(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z{bigr ]}^{2}-{bigl [}2n+p+q+z-e{bigr ]}^{2}\&-{bigl [}16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}{bigr ]}^{2}-{bigl [}e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}{bigr ]}^{2}-{bigl [}(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}{bigr ]}^{2}\&-{bigl [}16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}{bigr ]}^{2}-{bigl [}((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}{bigr ]}^{2}-{bigl [}n+l+v-y{bigr ]}^{2}\&-{bigl [}(a^{2}-1)l^{2}+1-m^{2}{bigr ]}^{2}-{bigl [}ai+k+1-l-i{bigr ]}^{2}-{bigl [}p+l(a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m{bigr ]}^{2}\&-{bigl [}q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x{bigr ]}^{2}-{bigl [}z+pl(a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm{bigr ]}^{2}{bigr }}end{aligned}}}

содержащий 26 переменных и имеющий степень 25. Наименьшая степень для известных многочленов такого типа — 5 при 42 переменных; наименьшее число переменных — 10 при степени около 1,6·10^45[72][73]. Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества.

Интересно, что приведённый выше многочлен, который порождает простые числа, сам разлагается на множители. Заметим, что второй множитель этого многочлена (в фигурных скобках) имеет форму: единица минус сумма квадратов. Таким образом, многочлен может принимать положительные значения (при положительных k{displaystyle k}) только если, каждый из этих квадратов (то есть каждый многочлен в квадратных скобках) равен нулю. В этом случае выражение в фигурных скобках будет равно 1^[74].

Открытые вопросы |

Распределение простых чисел p_n = f (Δs_n); Δs_n = p_n+1² — p_n². Δp_n = p_n+1 — p_n; Δp_n = 2, 4, 6, … .

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе^[75]:

1. 
   Проблема Гольдбаха (первая проблема Ландау): верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел?


2. 
   Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» — пар простых чисел, разность между которыми равна 2?^[54] (в 2013 году математик Чжан Итан из университета Нью-Гэмпшира^[76][77] доказал, что существует бесконечно большое количество пар простых чисел, расстояние между которыми не превышает 70 миллионов. Позже, Джеймс Мэйнард улучшил результат до 600. В 2014 году проект Polymath^[en] под руководством Теренса Тао несколько улучшили последний метод, получив оценку в 246.)


3. 
   Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау): верно ли, что для всякого натурального числа n между n² и (n + 1)² всегда найдётся простое число?^[78]
   


4. 
   Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида n² + 1, где n — натуральное число?^[54]
   

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Мерсенна^[54], числа Фибоначчи, числа Ферма и др.

Вариации и обобщения |

Неприводимые и простые элементы |

В начале статьи было дано определение простого числа: натуральное число называется простым, если у него ровно два делителя — единица и само число. Аналогичное понятие можно ввести и в других алгебраических структурах; чаще всего рассматривается коммутативные кольца без делителей нуля (области целостности)^[79][80]. У таких колец, однако, могут быть делители единицы, образующие мультипликативную группу. Например, в кольце целых чисел существуют два делителя единицы: +1{displaystyle +1} и −1.{displaystyle -1.} Поэтому все целые числа, кроме делителей единицы, имеют не два, а по меньшей мере четыре делителя; например, у числа 7 делителями являются 1;7;−1;−7.{displaystyle 1;7;-1;-7.} Это означает, что обобщение понятия простого числа должно опираться на иные его свойства.

Аналогом простого числа для области целостности является неприводимый элемент. который определяется следующим образом^[81].

Для целых чисел это определение означает, что неприводимыми элементами являются простые натуральные числа, а также противоположные им.

Из определения следует, что множество делителей неприводимого элемента p{displaystyle p} состоит из двух частей: все делители единицы и произведения p{displaystyle p} на все делители единицы (эти произведения называются ассоциированными с p{displaystyle p} злементами). То есть количество делителей неприводимого p,{displaystyle p,} если оно конечно, вдвое больше количества делителей единицы в кольце.

Важное значение имеет аналог основной теоремы арифметики, который в обобщённом виде формулируется следующим образом^[82]:

Не всякая область целостности факториальна, см. контрпример. Евклидово кольцо всегда факториально^[83].

Существует другое, более узкое обобщение понятия простого числа, называемое простым элементом^[81].

Простой элемент всегда неприводим. В самом деле, если элемент p{displaystyle p} простой и p=ab,{displaystyle p=ab,} то по определению простого элемента один из сомножителей, пусть это будет a,{displaystyle a,} делится на p,{displaystyle p,} то есть a=pq.{displaystyle a=pq.} Тогда p=ab=pqb{displaystyle p=ab=pqb} или, сокращая на p{displaystyle p} (в области целостности сокращение ненулевого множителя всегда возможно): 1=qb,{displaystyle 1=qb,} то есть b{displaystyle b} является делителем единицы. ■

Обратное, вообще говоря, неверно, неприводимый элемент может не быть простым, если кольцо не является факториальным. Пример^[84]: рассмотрим кольцо чисел вида a+b5i,{displaystyle a+b{sqrt {5}}i,} где a,b{displaystyle a,b} — целые числа. Число 3 в нём неприводимо, так как у него только 4 делителя: 3,1,−3,−1{displaystyle 3,1,-3,-1}. Однако оно не является простым элементом, в чём убеждает равенство:

(2+5i)(2−5i)=9{displaystyle left(2+{sqrt {5}}iright)left(2-{sqrt {5}}iright)=9}

Число 3 делит правую часть равенства, но не делит ни одного из сомножителей. Можно из этого факта сделать вывод, что рассмотренное кольцо не факториально; и в самом деле, равенство 6=2⋅3=(1−i5)(1+i5){displaystyle 6=2cdot 3=(1-i{sqrt {5}})(1+i{sqrt {5}})} показывает, что разложение на неприводимые множители в этом кольце не однозначно.

Примеры |

Кольцо целых чисел факториально. В нём, как уже упоминалось выше, два делителя единицы.

Кольцо гауссовых чисел состоит их комплексных чисел вида a+bi,{displaystyle a+bi,} где a,b{displaystyle a,b} — целые числа. Делителей единицы четыре: 1;−1;i;−i.{displaystyle 1;-1;i;-i.} Это кольцо факториально, неприводимыми элементами являются часть обычных простых чисел и «простые гауссовы» (например, 1+i{displaystyle 1+i}). См. критерий простоты гауссова числа.

Пример разложения для числа 2, которое в кольце гауссовых чисел не является простым: 2=(1+i)(1−i)=i(1−i)(1−i){displaystyle 2=(1+i)(1-i)=i(1-i)(1-i)} — неединственность разложения здесь кажущаяся, поскольку 1−i{displaystyle 1-i} ассоциирована с 1+i{displaystyle 1+i}, согласно равенству: 1−i=(−i)(1+i).{displaystyle 1-i=(-i)(1+i).}

Большое значение в алгебре имеет кольцо многочленов K[x]{displaystyle K[x]}, образованное многочленами с коэффициентами из некоторого кольца K.{displaystyle K.} Делителями единицы являются здесь ненулевые константы (как многочлены нулевой степени). Кольцо многочленов евклидово и поэтому факториально. Если в качестве K{displaystyle K} взять поле вещественных чисел, то неприводимыми будут все многочлены 1-й степени и те многочлены 2-й степени, у которых дискриминант отрицателен.

См. также |

• Незаконное простое число


• Суперпростое число


• Полупростое число


• Примориал


• Простые числа, отличающиеся на шесть


• Случайное простое число


• Составное число


• Список простых чисел


• Уникальное простое

Примечания |

Литература |

• Ван дер Варден. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9.


• Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. — М.: МЦНМО, 2003. — 328 с. — ISBN 5-94057-103-4.


• Винберг Э. Б. Малая теорема Ферма и ее обобщения // Матем. просв. — М.: Изд-во МЦНМО, 2008. — Т. 12. — С. 43–53.
  <a href="https://wikidata.org/wiki/Track:Q21789820"></a><a href="https://wikidata.org/wiki/Track:Q450643"></a><a href="https://wikidata.org/wiki/Track:Q4284740"></a>


• Гальперин Г. Просто о простых числах // Квант. — № 4. — С. 9—14,38.


• Генри С. Уоррен, мл. Глава 16. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker's Delight. — М.: «Вильямс», 2007. — 288 с. — ISBN 0-201-91465-4.


• Карпушина Н. Палиндромы и «перевёртыши» среди простых чисел // Наука и жизнь. — 2010. — № 5.


• Кордемский Б. А. Математическая смекалка. — М.: ГИФМЛ, 1958. — 576 с.


• Кормен Т., Лейзер Ч. Глава 33.8. Проверка чисел на простоту // Алгоритмы. Построение и анализ. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 765—772. — ISBN 5-900916-37-5.


• Крэндалл Р., Померанс К. Простые числа. Криптографические и вычислительные аспекты = Prime Numbers: A Computational Perspective. — М.: УРСС, Либроком, 2011. — 664 с. — ISBN 978-5-397-02060-2.


• Курош А. Г. . Лекции по общей алгебре. — 2-е изд.. — Наука, 1973.


• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.


• Матиясевич Ю.. Формулы для простых чисел // Квант. — 1975. — № 5. — С. 5—13.


• Нестеренко Ю. В. Алгоритмические проблемы теории чисел // Введение в криптографию / Под редакцией В. В. Ященко. — Питер, 2001. — 288 с. — ISBN 5-318-00443-1.


• Простое число // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — 352 с.


• Энрике Грасиан  Простые числа. Долгая дорога к бесконечности. — Де Агостини, 2014. — Т. 3. — 148 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0682-6. — ISBN 978-5-9774-0637-6.


• Bakhtiari M., Maarof M. A. Serious Security Weakness in RSA Cryptosystem // IJCSI — 2012. — Vol. 9, Iss. 1, No 3. — P. 175–178. — ISSN 1694-0814; 1694-0784
  <a href="https://wikidata.org/wiki/Track:Q27209082"></a><a href="https://wikidata.org/wiki/Track:Q27209093"></a><a href="https://wikidata.org/wiki/Track:Q27209141"></a><a href="https://wikidata.org/wiki/Track:Q27209155"></a>


• Crandall R., Pomerance C. Глава 3. «Recognizing Primes and Composites». Глава 4. «Primality Proving» // Prime Numbers: A Computational Perspective. — Springer, 2005. — С. 117—224. — ISBN 0-387-25282-7.

Ссылки |

• 
  Кноп К. В погоне за простотой.


• 
  Онлайн-утилита для проверки простоты числа.


• 
  The Prime Pages (англ.) — база данных наибольших известных простых чисел  (англ.).


• 
  Геометрия простых и совершенных чисел  (исп.).


• Скрипт визуализации