Bdtyk

В математике, метод бесконечного спуска — это метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено.

Часто метод бесконечного спуска используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме. Из предположения, что решение существует, доказывается существование другого решения, которое в некотором смысле меньше. Тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего. Это вызывает противоречие с тем, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел есть минимальный элемент, значит предположение о существовании начального решения неверно.

Метод бесконечного спуска был существенно развит Пьером Ферма.

Пример |

Доказательство иррациональности √2 |

Предположим, что 2{displaystyle {sqrt {2}}} — рациональное число. Это означает, что его можно записать в следующем виде:

2=pq,{displaystyle {sqrt {2}}={frac {p}{q}},}

для некоторых натуральных чисел p{displaystyle p} и q{displaystyle q}.
Тогда квадрат этого числа равен

2=p2q2{displaystyle 2={frac {p^{2}}{q^{2}}}}

2q2=p2,{displaystyle 2q^{2}=p^{2},}

Это означает, что p{displaystyle p} — чётное число. Пусть p=2r{displaystyle p=2r} и

p2=(2r)2=4r2.{displaystyle displaystyle p^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}.}

Подставляем 4r2{displaystyle 4r^{2}} вместо p2{displaystyle p^{2}}:

2q2=4r2,{displaystyle 2q^{2}=4r^{2},}

Делим на 2 обе части:

q2=2r2,{displaystyle q^{2}=2r^{2},}

значит, q{displaystyle q} — чётное число. Таким образом, исходные числа p{displaystyle p} и q{displaystyle q} можно одновременно разделить на 2 и получить другое представление 2{displaystyle {sqrt {2}}}. С полученными числами можно проделать ту же операцию, и так далее бесконечное число раз. Таким образом строится бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно. Значит, 2{displaystyle {sqrt {2}}} не является рациональным числом. Следовательно, 2{displaystyle {sqrt {2}}} иррационален.

См. также |

• Доказательство от противного

Ссылки |

• Л. Курляндчик, Г. Розенблюм. Метод бесконечного спуска // Квант. — 1978. — № 1. — С. 24-27.