Bdtyk

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Определение |

Пусть дано вероятностное пространство (Ω,F,P){displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )}. Параметризованное семейство {Xt}t∈T{displaystyle {X_{t}}_{tin T}} случайных величин

Xt(⋅):Ω→R,t∈T{displaystyle X_{t}(cdot )colon Omega to mathbb {R} ,quad tin T},

где T{displaystyle T} произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология |

• Если T⊂R{displaystyle Tsubset mathbb {R} }, то параметр t∈T{displaystyle tin T} может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция {Xt}{displaystyle {X_{t}}} называется случайным процессом. Если множество T{displaystyle T} дискретно, например T⊂N{displaystyle Tsubset mathbb {N} }, то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

• Если T⊂Rn{displaystyle Tsubset mathbb {R} ^{n}}, где n⩾1{displaystyle ngeqslant 1}, то параметр t∈T{displaystyle tin T} может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация |

• Случайный процесс X(t){displaystyle X(t)} называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t1,t2,…{displaystyle ;t_{1},t_{2},ldots }, число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.


• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:


• Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени t1,t2,…,tn{displaystyle ;t_{1},t_{2},ldots ,t_{n}}, но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.


• Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.


• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом^[1].


• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.


• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.


• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора t1,t2,…,tn{displaystyle t_{1},t_{2},ldots ,t_{n}}, где n>2{displaystyle n>2}, а t1<t2<…<tn{displaystyle t_{1}<t_{2}<ldots <t_{n}}, случайные величины (Xt2−Xt1){displaystyle (X_{t_{2}}-X_{t_{1}})}, (Xt3−Xt2){displaystyle (X_{t_{3}}-X_{t_{2}})}, …{displaystyle ldots }, (Xtn−Xtn−1){displaystyle (X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})} независимы в совокупности.


• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.


• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.

Траектория случайного процесса |

Пусть дан случайный процесс {Xt}t∈T{displaystyle {X_{t}}_{tin T}}. Тогда для каждого фиксированного t∈T{displaystyle tin T} Xt{displaystyle X_{t}} — случайная величина, называемая сечением. Если фиксирован элементарный исход ω∈Ω{displaystyle omega in Omega }, то Xt:T→R{displaystyle X_{t}colon Tto mathbb {R} } — детерминированная функция параметра t{displaystyle t}. Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции {Xt}{displaystyle {X_{t}}}.

Примеры |

• 
  {Xn}n∈N{displaystyle {X_{n}}_{nin mathbb {N} }}, где Xi∼N(0,1){displaystyle ;X_{i}sim mathrm {N} (0,1)} называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.


• Пусть f:R→R{displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {R} }, и Y{displaystyle Y} — случайная величина. Тогда

Xt(ω)=f(t)⋅Y(ω){displaystyle X_{t}(omega )=f(t)cdot Y(omega )}

является случайным процессом.

Примечания |

См. также |

• Случайная величина


• Цепь Маркова


• Марковский процесс


• Немарковский процесс

Источники |

• А. А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.


• С. И. Баскаков. Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.


• 
  Натан А.А., Горбачёв О.Г., Гуз С.А. Основы теории случайных процессов : учеб. пособие по курсу "Случайные процессы" – М.: МЗ Пресс – МФТИ, 2003. –168 с. ISBN 5-94073-055-8.