Bdtyk

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a{displaystyle a} имеет форму

a=d2rdt2=f(r)r^.{displaystyle mathbf {a} ={frac {d^{2}mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){hat {mathbf {r} }}.}

Вспомним, что в полярных координатах

drdt=r˙r^+rθ˙θ^,{displaystyle {frac {dmathbf {r} }{dt}}={dot {r}}{hat {mathbf {r} }}+r{dot {theta }}{hat {boldsymbol {theta }}},}

d2rdt2=(r¨−rθ˙2)r^+(rθ¨+2r˙θ˙)θ^.{displaystyle {frac {d^{2}mathbf {r} }{dt^{2}}}=({ddot {r}}-r{dot {theta }}^{2}){hat {mathbf {r} }}+(r{ddot {theta }}+2{dot {r}}{dot {theta }}){hat {boldsymbol {theta }}}.}

В координатной форме запишем

r¨−rθ˙2=f(r),{displaystyle {ddot {r}}-r{dot {theta }}^{2}=f(r),}

rθ¨+2r˙θ˙=0.{displaystyle r{ddot {theta }}+2{dot {r}}{dot {theta }}=0.}

Подставляя θ¨{displaystyle {ddot {theta }}} и r˙{displaystyle {dot {r}}} во второе уравнение, получим

rdθ˙dt+2drdtθ˙=0,{displaystyle r{d{dot {theta }} over dt}+2{dr over dt}{dot {theta }}=0,}

которое упрощается

dθ˙θ˙=−2drr.{displaystyle {frac {d{dot {theta }}}{dot {theta }}}=-2{frac {dr}{r}}.}

После интегрирования запишем выражение

ln⁡θ˙=−2ln⁡r+ln⁡ℓ,{displaystyle ln {dot {theta }}=-2ln r+ln ell ,}

ln⁡ℓ=ln⁡r2+ln⁡θ˙,{displaystyle ln ell =ln r^{2}+ln {dot {theta }},}

ℓ=r2θ˙,{displaystyle ell =r^{2}{dot {theta }},}

для некоторой константы ℓ{displaystyle ell }, которая является удельным угловым моментом (ℓ=r×v{displaystyle ell =mathbf {r} times mathbf {v} }).

Пусть

r=1u,{displaystyle r={frac {1}{u}},}

r˙=−1u2u˙=−1u2dθdtdudθ=−ℓdudθ,{displaystyle {dot {r}}=-{frac {1}{u^{2}}}{dot {u}}=-{frac {1}{u^{2}}}{frac {dtheta }{dt}}{frac {du}{dtheta }}=-ell {frac {du}{dtheta }},}

r¨=−ℓddtdudθ=−ℓθ˙d2udθ2=−ℓ2u2d2udθ2.{displaystyle {ddot {r}}=-ell {frac {d}{dt}}{frac {du}{dtheta }}=-ell {dot {theta }}{frac {d^{2}u}{dtheta ^{2}}}=-ell ^{2}u^{2}{frac {d^{2}u}{dtheta ^{2}}}.}

Уравнение движения в направлении r^{displaystyle {hat {mathbf {r} }}} становится равным

d2udθ2+u=−1ℓ2u2f(1u).{displaystyle {frac {d^{2}u}{dtheta ^{2}}}+u=-{frac {1}{ell ^{2}u^{2}}}fleft({frac {1}{u}}right).}

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

f(1u)=f(r)=−GMr2=−GMu2{displaystyle fleft({1 over u}right)=f(r)=-,{GM over r^{2}}=-GMu^{2}}

где G{displaystyle G} — универсальная гравитационная константа и M{displaystyle M} — масса звезды.

В результате

d2udθ2+u=GMℓ2.{displaystyle {frac {d^{2}u}{dtheta ^{2}}}+u={frac {GM}{ell ^{2}}}.}

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

u=GMℓ2[1+ecos⁡(θ−θ0)].{displaystyle u={frac {GM}{ell ^{2}}}left[1+ecos(theta -theta _{0})right].}

для произвольных констант интегрирования e{displaystyle e} и θ0{displaystyle theta _{0}}.

Заменяя u{displaystyle u} на 1/r{displaystyle r} и полагая θ0=0{displaystyle theta _{0}=0}, получим:

r=1u=ℓ2/GM1+ecos⁡θ.{displaystyle r={1 over u}={frac {ell ^{2}/GM}{1+ecos theta }}.}

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e{displaystyle e} и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках P{displaystyle P} (перигелий) и A{displaystyle A} (афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

12⋅(1−ε)a⋅VAdt=12⋅(1+ε)a⋅VBdt{displaystyle {begin{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}cdot (1-varepsilon )acdot V_{A},dt={begin{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}cdot (1+varepsilon )acdot V_{B},dt}

(1−ε)⋅VA=(1+ε)⋅VB{displaystyle (1-varepsilon )cdot V_{A}=(1+varepsilon )cdot V_{B}}

VA=VB⋅1+ε1−ε{displaystyle V_{A}=V_{B}cdot {frac {1+varepsilon }{1-varepsilon }}}

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A{displaystyle A} и B{displaystyle B}, запишем

mVA22−GmM(1−ε)a=mVB22−GmM(1+ε)a{displaystyle {frac {mV_{A}^{2}}{2}}-{frac {GmM}{(1-varepsilon )a}}={frac {mV_{B}^{2}}{2}}-{frac {GmM}{(1+varepsilon )a}}}

VA22−VB22=GM(1−ε)a−GM(1+ε)a{displaystyle {frac {V_{A}^{2}}{2}}-{frac {V_{B}^{2}}{2}}={frac {GM}{(1-varepsilon )a}}-{frac {GM}{(1+varepsilon )a}}}

VA2−VB22=GMa⋅(1(1−ε)−1(1+ε)){displaystyle {frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={frac {GM}{a}}cdot left({frac {1}{(1-varepsilon )}}-{frac {1}{(1+varepsilon )}}right)}

(VB⋅1+ε1−ε)2−VB22=GMa⋅(1+ε−1+ε(1−ε)(1+ε)){displaystyle {frac {left(V_{B}cdot {frac {1+varepsilon }{1-varepsilon }}right)^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={frac {GM}{a}}cdot left({frac {1+varepsilon -1+varepsilon }{(1-varepsilon )(1+varepsilon )}}right)}

VB2⋅(1+ε1−ε)2−VB2=2GMa⋅(2ε(1−ε)(1+ε)){displaystyle V_{B}^{2}cdot left({frac {1+varepsilon }{1-varepsilon }}right)^{2}-V_{B}^{2}={frac {2GM}{a}}cdot left({frac {2varepsilon }{(1-varepsilon )(1+varepsilon )}}right)}

VB2⋅((1+ε)2−(1−ε)2(1−ε)2)=4GMεa⋅(1−ε)(1+ε){displaystyle V_{B}^{2}cdot left({frac {(1+varepsilon )^{2}-(1-varepsilon )^{2}}{(1-varepsilon )^{2}}}right)={frac {4GMvarepsilon }{acdot (1-varepsilon )(1+varepsilon )}}}

VB2⋅(1+2ϵ+ϵ2−1+2ϵ−ϵ2(1−ϵ)2)=4GMϵa⋅(1−ϵ)(1+ϵ){displaystyle V_{B}^{2}cdot left({frac {1+2epsilon +epsilon ^{2}-1+2epsilon -epsilon ^{2}}{(1-epsilon )^{2}}}right)={frac {4GMepsilon }{acdot (1-epsilon )(1+epsilon )}}}

VB2⋅4ϵ=4GMϵ⋅(1−ϵ)2a⋅(1−ϵ)(1+ϵ){displaystyle V_{B}^{2}cdot 4epsilon ={frac {4GMepsilon cdot (1-epsilon )^{2}}{acdot (1-epsilon )(1+epsilon )}}}

VB=GM⋅(1−ϵ)a⋅(1+ϵ).{displaystyle V_{B}={sqrt {frac {GMcdot (1-epsilon )}{acdot (1+epsilon )}}}.}

Теперь, когда нашли VB{displaystyle V_{B}}, мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

dAdt=12⋅(1+ϵ)a⋅VBdtdt=12⋅(1+ϵ)a⋅VB{displaystyle {frac {dA}{dt}}={frac {{frac {1}{2}}cdot (1+epsilon )acdot V_{B},dt}{dt}}={begin{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}cdot (1+epsilon )acdot V_{B}}

=12⋅(1+ϵ)a⋅GM⋅(1−ϵ)a⋅(1+ϵ)=12⋅GMa⋅(1−ϵ)(1+ϵ){displaystyle ={begin{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}cdot (1+epsilon )acdot {sqrt {frac {GMcdot (1-epsilon )}{acdot (1+epsilon )}}}={begin{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}cdot {sqrt {GMacdot (1-epsilon )(1+epsilon )}}}

Однако полная площадь эллипса равна πa(1−ϵ2)a{displaystyle pi a{sqrt {(1-epsilon ^{2})}}a} (что равно πab{displaystyle pi ab}, поскольку b=(1−ϵ2)a{displaystyle b={sqrt {(1-epsilon ^{2})}}a}). Время полного оборота, таким образом, равно

T⋅dAdt=πa(1−ϵ2)a{displaystyle Tcdot {frac {dA}{dt}}=pi a{sqrt {(1-epsilon ^{2})}}a}

T⋅12⋅GMa⋅(1−ϵ)(1+ϵ)=π(1−ϵ2)a2{displaystyle Tcdot {begin{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}cdot {sqrt {GMacdot (1-epsilon )(1+epsilon )}}=pi {sqrt {(1-epsilon ^{2})}}a^{2}}

T=2π(1−ϵ2)a2GMa⋅(1−ϵ)(1+ϵ)=2πa2GMa=2πGMa3{displaystyle T={frac {2pi {sqrt {(1-epsilon ^{2})}}a^{2}}{sqrt {GMacdot (1-epsilon )(1+epsilon )}}}={frac {2pi a^{2}}{sqrt {GMa}}}={frac {2pi }{sqrt {GM}}}{sqrt {a^{3}}}}

T2=4π2GMa3.{displaystyle T^{2}={frac {4pi ^{2}}{GM}}a^{3}.}

Заметим, что если масса m{displaystyle m} не пренебрежимо мала по сравнению с M{displaystyle M}, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы M+m{displaystyle M+m} (см. приведённая масса). При этом массу M{displaystyle M} в последней формуле нужно заменить на M+m{displaystyle M+m}:

T2=4π2G(M+m)a3.{displaystyle T^{2}={frac {4pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}.}

Рассмотрим планету как точку массой m, вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:

1. перигелий с радиус-вектором r1=a−c{displaystyle r_{1}=a-c}, скоростью V1{displaystyle V_{1}};
   


2. афелий с радиус-вектором r2=c+a{displaystyle r_{2}=c+a}, скоростью V2{displaystyle V_{2}}.
   

Запишем закон сохранения момента импульса

mV1r1=mV2r2{displaystyle mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2}}

и закон сохранения энергии

mV122−GmMr1=mV222−GmMr2{displaystyle {frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{frac {GmM}{r_{1}}}={frac {mV_{2}^{2}}{2}}-{frac {GmM}{r_{2}}}} ,

где M - масса Солнца.

Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке "перигелий":

V1=2GMr2/r1r1+r2{displaystyle V_{1}={sqrt {2GM{frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}}} .

Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):

Vs=1/2⋅V1r1=GMr2r12(r1+r2){displaystyle V_{s}=1/2cdot V_{1}r_{1}={sqrt {GM{frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}}} .

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:

Sellipse=πab{displaystyle S_{ellipse}=pi ab}

где a{displaystyle a} - длина большой полуоси, b{displaystyle b} - длина малой полуоси орбиты.

С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:

Sellipse=Vs⋅T=T⋅GMr2r12(r1+r2){displaystyle S_{ellipse}=V_{s}cdot T=Tcdot {sqrt {frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}} .

Следовательно,

T⋅GMr2r12(r1+r2)=πab{displaystyle Tcdot {sqrt {frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}=pi ab} .

Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения

c2=a2−b2{displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}

r1+r2=2a{displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}

r1⋅r2=a2−c2=b2{displaystyle r_{1}cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}

Подставим в формулу площади эллипса:

T⋅GMb24a=πab{displaystyle Tcdot {sqrt {GM{frac {b^{2}}{4a}}}}=pi ab}

Откуда окончательно получим:

Ta3/2=const{displaystyle {frac {T}{a^{3/2}}}=const}

или в традиционном виде

T2a3=const.{displaystyle {frac {T^{2}}{a^{3}}}=const.}