Bdtyk

Парабола
Парабола, её фокус и директриса
Коническое сечение:	Парабола как коническое сечение
Эксцентриситет:	e=1{displaystyle textstyle e=1}
Уравнения:	y=x2y=ax2+bx+cAx2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=F(B2−4AC=0){displaystyle {begin{smallmatrix}y=x^{2}\[10pt]y=ax^{2}+bx+c\[10pt]Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F\(B^{2}-4AC=0)end{smallmatrix}}}
гипербола парабола эллипс окружность

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Изображение конического сечения, являющегося параболой

Построение параболы как конического сечения

Конические сечения

Вершина |

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Уравнения |

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

y2=2px,p>0{displaystyle textstyle y^{2}=2px,p>0} (или x2=2py{displaystyle textstyle x^{2}=2py}, если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы^[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии p2{displaystyle {frac {p}{2}}} от обоих.

Вывод

Уравнение директрисы PQ: x+p2=0{displaystyle textstyle x+{frac {p}{2}}=0}, фокус F имеет координаты (p2;0).{displaystyle left({frac {p}{2}};0right).} Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку KM=KD+DM=p2+x{displaystyle {textrm {KM=KD+DM}}={frac {p}{2}}+x} и FM=(x−p2)2+y2{displaystyle {textrm {FM}}={sqrt {left(x-{frac {p}{2}}right)^{2}+y^{2}}}}, то равенство приобретает вид: (x−p2)2+y2=p2+x.{displaystyle {sqrt {left(x-{frac {p}{2}}right)^{2}+y^{2}}}={frac {p}{2}}+x.} После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение y2=2px.{displaystyle y^{2}=2px.}

Парабола, заданная квадратичной функцией |

Квадратичная функция y=ax2+bx+c{displaystyle y=ax^{2}+bx+c} при a≠0{displaystyle aneq 0} также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и y=ax2,{displaystyle y=ax^{2},} но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

xA=−b2a,yA=−D4a,{displaystyle x_{textrm {A}}=-{frac {b}{2a}},;y_{textrm {A}}=-{frac {D}{4a}},} где D=b2−4ac{displaystyle D=b^{2}-4ac} — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение y=ax2+bx+c{displaystyle y=ax^{2}+bx+c} может быть представлено в виде y=a(x−xA)2+yA,{displaystyle y=a(x-x_{textrm {A}})^{2}+y_{textrm {A}},} а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом p=1|2a|.{displaystyle p={frac {1}{|2a|}}.}

Общее уравнение параболы |

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.{displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант B2−4AC{displaystyle B^{2}-4AC} равен нулю.

Уравнение в полярной системе |

Парабола в полярной системе координат (ρ,ϑ){displaystyle (rho ,vartheta )} с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

ρ(1+cos⁡ϑ)=p,{displaystyle rho (1+cos vartheta )=p,}

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Расчёт коэффициентов квадратичной функции |

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, y=ax2+bx+c{displaystyle y=ax^{2}+bx+c} известны координаты трёх различных точек параболы (x1;y1),(x2;y2),(x3;y3),{displaystyle (x_{1};y_{1}),;(x_{2};y_{2}),;(x_{3};y_{3}),} то его коэффициенты могут быть найдены так:

a=y3−x3(y2−y1)+x2y1−x1y2x2−x1x3(x3−x1−x2)+x1x2,  b=y2−y1x2−x1−a(x1+x2),  c=x2y1−x1y2x2−x1+ax1x2.{displaystyle a={frac {y_{3}-{tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}}, b={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}), c={frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.}

Если же заданы вершина (x0;y0){displaystyle (x_{0};y_{0})} и старший коэффициент a{displaystyle a}, то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

b=−2ax0{displaystyle b=-2ax_{0}}

c=ax02+y0{displaystyle c=ax_{0}^{2}+y_{0}}

x1=x0+−y0a{displaystyle x_{1}=x_{0}+{sqrt {-{frac {y_{0}}{a}}}}}

x2=x0−−y0a{displaystyle x_{2}=x_{0}-{sqrt {-{frac {y_{0}}{a}}}}}

Свойства |

Отражательное свойство параболы (оптика)

Расстояние от P_n до фокуса F такое же, как и от P_n до Q_n (на директрисе L)

Длина линий FP_nQ_n одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)

• Парабола — кривая второго порядка.


• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.


• 
  Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.


• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.


• Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.


• Парабола является антиподерой прямой.


• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.


• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть Цепная линия ^[2].

Связанные определения |

• При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Обобщение |

Парабола есть Синусоидальная спираль при n=−12{displaystyle textstyle n=-{frac {1}{2}}};

Параболы в физическом пространстве |

Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

• 
  

  

  
  

  
  

  Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  Падение баскетбольного мяча
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  Параболические траектории струй воды
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  Вращающийся сосуд с жидкостью
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  Парабола — антиподера прямой
  

  
  

  
  

См. также |

Примечания |

Литература |

• Бронштейн И. Парабола // Квант. — 1975. — № 4. — С. 9-16.


• Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.


• Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).


• А. А. Акопян, А. В. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

Ссылки |

В Викисловаре есть статья «парабола»

	Парабола на Викискладе

• 
  Статья в справочнике «Прикладная математика».


• 
  Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.


• 
  Информация (англ.) о связи параболы с физикой.


• Учебный фильм о параболе