Формула Торричелли (гидродинамика)
Фо́рмула Торриче́лли связывает скорость истечения идеальной жидкости из малого отверстия в открытом сосуде с высотой жидкости над отверстием[1].
Формула Торричелли утверждает, что скорость v{displaystyle v} истечения идеальной жидкости через отверстие в тонкой стенке, находящееся в ёмкости на глубине h{displaystyle h} от поверхности, такая же, как и у тела, свободно падающего с высоты h{displaystyle h}[2], то есть
- v=2gh,{displaystyle v={sqrt {2gh}},}
где g{displaystyle g} — ускорение свободного падения.
Если же отверстие затоплено, то h{displaystyle h} равно разности уровней жидкости перед и за отверстием[3].
Последнее выражение получено в результате приравнивания приобретённой кинетической энергии 12mv2{displaystyle {frac {1}{2}}mv^{2}} и потерянной потенциальной энергии mgh{displaystyle mgh}.
Для реальных жидкостей скорость истечения будет тем меньше величины v=2gh{displaystyle v={sqrt {2gh}}}, чем больше вязкость жидкости[4], а именно v=φ2gh{displaystyle v=varphi {sqrt {2gh}}}, где φ<1{displaystyle varphi <1} - коэффициент скорости φ=11+ξ{displaystyle varphi ={frac {1}{1+xi }}}, где ξ{displaystyle xi } - коэффициент сопротивления при входе в отверстие[3].
Для реальной жидкости расход через отверстие Q=μω2gh{displaystyle Q=mu omega {sqrt {2gh}}}, где μ=αφ{displaystyle mu =alpha varphi }, α{displaystyle alpha } - коэффициент сжатия струи[3].
Эта формула была получена в словесной форме итальянским учёным Эванджелиста Торричелли, в 1643 году и опубликована в его сочинении Opera geometrica, вышедшем в 1644 году, в разделе De motu aquarum[2]. Позже было показано, что эта формула является следствием закона Бернулли.
Вывод |
Закон Бернулли утверждает, что
- v22+gz+pρ=const,{displaystyle {frac {v^{2}}{2}}+gz+{frac {p}{rho }}={text{const}},}
где v — это скорость жидкости,
z — высота жидкости над точкой, для которой записывается уравнение Бернулли,
p — давление,
ρ — плотность жидкости.
Пусть отверстие находится на высоте z = 0. У поверхности жидкости в резервуаре давление p равно атмосферному. Скорость жидкости v в верхней части резервуара можно считать равной нулю, так как уровень поверхности жидкости понижается очень медленно по сравнению со скоростью истечения жидкости через отверстие. На выходе из отверстия z = 0, и p также равно атмосферному давлению. Приравнивая левые части уравнения Бернулли, записанные для поверхности жидкости в резервуаре и для жидкости на выходе из отверстия, получим:
- gz+patmρ=v22+patmρ{displaystyle gz+{frac {p_{text{atm}}}{rho }}={frac {v^{2}}{2}}+{frac {p_{text{atm}}}{rho }}}
- ⇒v2=2gz{displaystyle Rightarrow v^{2}=2gz}
- ⇒v=2gz.{displaystyle Rightarrow v={sqrt {2gz}}.}
z равно высоте h, и таким образом
- v=2gh.{displaystyle v={sqrt {2gh}}.}
Примечания |
↑ Торричелли формула. Статьи в Физической энциклопедии и Физическом энциклопедическом словаре.
↑ 12 См. Evangelista Torricelli. De motu aquarum // Opera Geometrica. — 1644. — P. 191. Формула Торричелли там выражена утверждением на латинском языке: «Aquas violenter erumpentes in ipso eruptionis puncto eundem impetum habere, quem haberet grave aliquod, sive ipsius aquae gutta una, si ex suprema eiusdem aquae superficie usque ad orificium eruptiones naturaliter cecidisset».
↑ 123 Зиновьев В.А. Краткий технический справочник. Том 1. - М., ГОСИЗДАТ, 1949. - c. 362
↑ Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика, молекулярная физика. — М., Наука, 1987. — Тираж 233 000 экз. — c. 251
Литература |
- T. E. Faber. Fluid Dynamics for Physicists. — Cambridge University Press, 1995. — ISBN 0-521-42969-2.
- Stanley Middleman, An Introduction to Fluid Dynamics: Principles of Analysis and Design (John Wiley & Sons, 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
- Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations (2005)
