Bdtyk

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Строгое определение |

• 
  Пусть функция f:U(x0)⊂R→R{displaystyle fcolon U(x_{0})subset mathbb {R} to mathbb {R} } определена в некоторой окрестности точки x0∈R{displaystyle x_{0}in mathbb {R} }, и дифференцируема в ней: f∈D(x0){displaystyle fin {mathcal {D}}(x_{0})}. Касательной прямой к графику функции f{displaystyle f} в точке x0{displaystyle x_{0}} называется график линейной функции, задаваемый уравнением
  

  
  y=f(x0)+f′(x0)(x−x0),x∈R{displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),quad xin mathbb {R} }.

  
  


• Если функция f{displaystyle f} имеет в точке x0{displaystyle x_{0}} бесконечную производную f′(x0)=±∞,{displaystyle f'(x_{0})=pm infty ,} то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением
  

  x=x0.{displaystyle x=x_{0}.}

  
  

Замечание |

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x0,f(x0)){displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}. Угол α{displaystyle alpha } между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

tgα=f′(x0)=k,{displaystyle operatorname {tg} ,alpha =f'(x_{0})=k,}

где k{displaystyle operatorname {k} } — коэффициент наклона касательной.
Производная в точке x0{displaystyle x_{0}} равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x){displaystyle y=f(x)} в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей |

Пусть f:U(x0)→R{displaystyle fcolon U(x_{0})to mathbb {R} } и x1∈U(x0).{displaystyle x_{1}in U(x_{0}).} Тогда прямая линия, проходящая через точки (x0,f(x0)){displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} и (x1,f(x1)){displaystyle (x_{1},f(x_{1}))} задаётся уравнением

y=f(x0)+f(x1)−f(x0)x1−x0(x−x0).{displaystyle y=f(x_{0})+{frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).}

Эта прямая проходит через точку (x0,f(x0)){displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} для любого x1∈U(x0),{displaystyle x_{1}in U(x_{0}),} и её угол наклона α(x1){displaystyle alpha (x_{1})} удовлетворяет уравнению

tgα(x1)=f(x1)−f(x0)x1−x0.{displaystyle operatorname {tg} ,alpha (x_{1})={frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.}

В силу существования производной функции f{displaystyle f} в точке x0,{displaystyle x_{0},} переходя к пределу при x1→x0,{displaystyle x_{1}to x_{0},} получаем, что существует предел

limx1→x0tgα(x1)=f′(x0),{displaystyle lim limits _{x_{1}to x_{0}}operatorname {tg} ,alpha (x_{1})=f'(x_{0}),}

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

α=arctgf′(x0).{displaystyle alpha =operatorname {arctg} ,f'(x_{0}).}

Прямая, проходящая через точку (x0,f(x0)){displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий tgα=f′(x0),{displaystyle operatorname {tg} ,alpha =f'(x_{0}),} задаётся уравнением касательной:

y=f(x0)+f′(x0)(x−x0).{displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}

Касательная к окружности |

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства |

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.


2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.


3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщения |

Односторонние полукасательные |

• Если существует правая производная f+′(x0)<∞,{displaystyle f'_{+}(x_{0})<infty ,} то пра́вой полукаса́тельной к графику функции f{displaystyle f} в точке x0{displaystyle x_{0}} называется луч
  

y=f(x0)+f+′(x0)(x−x0),x⩾x0.{displaystyle y=f(x_{0})+f'_{+}(x_{0})(x-x_{0}),quad xgeqslant x_{0}.}

• Если существует левая производная f−′(x0)<∞,{displaystyle f'_{-}(x_{0})<infty ,} то ле́вой полукаса́тельной к графику функции f{displaystyle f} в точке x0{displaystyle x_{0}} называется луч
  

y=f(x0)+f−′(x0)(x−x0),x⩽x0.{displaystyle y=f(x_{0})+f'_{-}(x_{0})(x-x_{0}),quad xleqslant x_{0}.}

• Если существует бесконечная правая производная f+′(x0)=+∞(−∞),{displaystyle f'_{+}(x_{0})=+infty ;(-infty ),} то правой полукасательной к графику функции f{displaystyle f} в точке x0{displaystyle x_{0}} называется луч
  

x=x0,y⩾f(x0)(y⩽f(x0)).{displaystyle x=x_{0},;ygeqslant f(x_{0});(yleqslant f(x_{0})).}

• Если существует бесконечная левая производная f−′(x0)=+∞(−∞),{displaystyle f'_{-}(x_{0})=+infty ;(-infty ),} то правой полукасательной к графику функции f{displaystyle f} в точке x0{displaystyle x_{0}} называется луч
  

x=x0,y⩽f(x0)(y⩾f(x0)).{displaystyle x=x_{0},;yleqslant f(x_{0});(ygeqslant f(x_{0})).}

См. также |

• Дифференцируемая функция


• Касательное пространство


• 
  Нормаль, бинормаль
  


• Теорема о секущих

Литература |

• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.


• Касательная // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.