Bdtyk

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красная), меридианов (синий) и гипермеридианов (зелёный). В связи с конформными свойствами стереографической проекции, кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в жёлтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, которые пересекаются <0,0,0,1> имеют бесконечный радиус (то есть являются прямыми).

Трёхмерная сфера, или трёхмерная гиперсфера, иногда 3-сфера, — трёхмерный аналог двумерной сферы. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

Уравнение |

В декартовых координатах (x0,x1,x2,x3){displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})} трёхмерная сфера радиуса r{displaystyle r} может быть задана уравнением:

(x0−C0)2+(x1−C1)2+(x2−C2)2+(x3−C3)2=r2{displaystyle (x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}}.

Рассматривая комплексное пространство C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}} как вещественное R4{displaystyle mathbb {R} ^{4}}, уравнение сферы может быть рассмотрено как:

S3={(z1,z2)∈C2:|z1|2+|z2|2=1}{displaystyle S^{3}=left{(z_{1},z_{2})in mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1right}}.

Аналогично, в пространстве кватернионов H1{displaystyle mathbb {H} ^{1}}:

S3={q∈H:||q||=1}{displaystyle S^{3}=left{qin mathbb {H} :||q||=1right}}.

Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:

x0=rcos⁡ψ {displaystyle x_{0}=rcos psi }

x1=rsin⁡ψcos⁡θ {displaystyle x_{1}=rsin psi cos theta }

x2=rsin⁡ψsin⁡θcos⁡ϕ {displaystyle x_{2}=rsin psi sin theta cos phi }

x3=rsin⁡ψsin⁡θsin⁡ϕ {displaystyle x_{3}=rsin psi sin theta sin phi }

Свойства |

Трёхмерная сфера S3{displaystyle S^{3}} является границей четырёхмерного шара.

Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным многообразием. Трёхмерная сфера односвязна, то есть любая замкнутая кривая на неё может быть непрерывно стянута в точку.

Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной компактификации трёхмерного вещественного пространства R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}

Групповая структура |

Являясь множеством единичных кватернионов, трёхмерная сфера наследует групповую структуру.

Таким образом, сфера S3{displaystyle S^{3}} является группой Ли. Среди n{displaystyle n}-мерных сфер таким свойством обладают только S1{displaystyle S^{1}} и S3{displaystyle S^{3}}.

Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы S3{displaystyle S^{3}} с помощью матриц Паули:

x1+x2i+x3j+x4k↦(x1+ix2x3+ix4−x3+ix4x1−ix2).{displaystyle x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}kmapsto {begin{pmatrix};;,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}end{pmatrix}}.}

Поэтому группа S3{displaystyle S^{3}} изоморфна матричной группе Ли SU(2){displaystyle mathrm {SU} (2)}.

Действие группы U(1) и расслоение Хопфа |

Если определить действие группы U(1){displaystyle U(1)}:

(z1,z2)⋅λ=(z1λ,z2λ)∀λ∈U(1){displaystyle (z_{1},z_{2})cdot lambda =(z_{1}lambda ,z_{2}lambda )quad forall lambda in mathbb {U} (1)},

то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере S2{displaystyle {S}^{2}}. При этом на сфере S3{displaystyle {S}^{3}} возникает структура расслоения с базой S2{displaystyle {S}^{2}} и слоями, гомеоморфными U(1), то есть окружности S1{displaystyle {S}^{1}}. Это расслоение называется расслоением Хопфа.^[1]

Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой:

p:(z1,z2)↦(z1:z2){displaystyle p:(z_{1},z_{2})mapsto (z_{1}:z_{2})}.

Точка (z₁, z₂) сферы S3{displaystyle S^{3}} отображается в точку [z₁: z₂] комплексной проективной прямой CP¹, которая диффеоморфна двумерной сфере S2{displaystyle S^{2}}.

Гомотопические группы сферы |

Односвязность сферы означает, что первая гомотопическая группа π1(S3)={0}{displaystyle pi _{1}(S^{3})={0}}. Также нулевой является группа π2(S3)={0}{displaystyle pi _{2}(S^{3})={0}}.

Примечания |

См. также |

• Гипотеза Пуанкаре

Литература |

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М., 1989.

Ссылки |

• 
  Weisstein, Eric W. Hypersphere (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Примечание: В данной статье используются альтернативные схемы именования для сфер, в которых сфера в N-мерном пространстве называется N-сферой. (англ.)